L OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

L OM, 1998-1999

Etap:

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych dodatnich $x$ , $y$ spełniające równanie $y^x = x^{50}$ .

Rozwiązanie

Dane równanie zapisujemy w postaci $y = x^{50/x}$ . Ponieważ dla każdego $x$ będącego dzielnikiem $50$ liczba po prawej stronie jest całkowita, otrzymujemy rozwiązania równania dla $x \in \{1,2,5,10,25,50\}$ . Inne rozwiązania tego równania otrzymamy tylko wtedy, gdy $x \geq 2$ oraz dla pewnego $k \geq 2$ liczba $x$ jest jednocześnie $k$ -tą potęgą pewnej liczby naturalnej oraz dzielnikiem liczby $50k$ . Jeśli $p$ jest dzielnikiem pierwszym takiej liczby $x$ , to $p^k|50^k$ . Ponieważ $p^k>k$ , więc nie może być $p^k|k$ , skąd $p\in\{2,5\}$ . Jeżeli $p= 2$ , to $2^k|2k$ , skąd $k = 2$ . Jeżeli zaś $p=5$ , to $5^k|25k$ , skąd znowu $k = 2$ . Zatem $x$ musi jednocześnie być kwadratem pewnej liczby naturalnej oraz dzielnikiem liczby $100$ .