L OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

L OM, 1998-1999

Etap:

Przekątne $AC$ i $BD$ czworokąta wypukłego $ABCD$ przecinają się w punkcie $P$ . Punkt $M$ jest środkiem boku $AB$ . Prosta $MP$ przecina bok $CD$ w punkcie $Q$ . Dowieść, że stosunek pól trójkątów $BCP$ i $ADP$ jest równy stosunkowi długości odcinków $CQ$ i $DQ$ .

Rozwiązanie

Przez $[XYZ]$ będziemy oznaczać pole trójkąta $XYZ$ . Niech $K$ będzie punktem przecięcia odcinków $DP$ i $AQ$ , zaś niech $L$ będzie punktem przecięcia odcinków $CP$ i $BQ$ . Ponieważ punkt $M$ jest środkiem odcinka $AD$ , więc (na mocy twierdzenia Cevy)

$<br /> \frac{BL}{LQ}=\frac{AK}{KQ},\ \textrm{skąd}\ \frac{[BCP]}{[CQP]}=\frac{[ADP]}{[DQP]}.<br />$

Dostajemy zatem

$<br /> \frac{[BCP]}{[ADP]}=\frac{[CQP]}{[DQP]}=\frac{CQ}{DQ}.<br />$