L OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

L OM, 1998-1999

Etap:

Dana jest liczba naturalna $n \geq 2$ . Wyznaczyć wszystkie wielomiany $P(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n$ mające dokładnie $n$ pierwiastków nie większych niż $-1$ oraz spełniające warunek

$ a_0^2 + a_1a_n = a_n^2 + a_0a_{n-1} . $

Uwaga: Pierwiastki są liczone z uwzględnieniem krotności: jeśli liczba $x_0$ jest pierwiastkiem $k$ -krotnym wielomianu $P(x)$ (tzn. jeśli wielomian $P(x)$ jest podzielny przez wielomian $(x - x_0)^k$ , ale nie przez $(x - x_0)^{k+1}$ ), wówczas liczba $x_0$ jest traktowana jak $k$ pierwiastków wielomianu $P(x)$ .

Rozwiązanie

Niech $-p_1 \leq -p_2 \leq \ldots \leq -p_n$ będą pierwiastkami wielomianu spełniającego warunki zadania. Wówczas $p_1 \geq p_2 \geq \ldots \geq p_n \geq 1$ oraz $a_n \neq 0$ . Ponadto

$ a_{n-1} = a_n(p_1+p_2 + \ldots+p_n),\quad a_1 = a_np_1p_2\ldots p_n\left(\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\ldots+\frac{1}{p_n}\right), $

oraz $a_0 = a_np_1p_2\ldots p_n$ . Warunek $a_0^2 + a_1a_n = a_n^2 + a_0a_{n-1}$ można więc przepisać w postaci

$ \qquad p_1p_2\ldots p_n+\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\ldots+\frac{1}{p_n} = \frac{1}{p_1p_2\ldots p_n}+p_1+p_2+\ldots+ p_n. $

Udowodnimy indukcyjnie, że dla $n \geq 2$ oraz dla dowolnych liczb rzeczywistych $p_1 \geq p_2 \geq \ldots \geq p_n \geq 1$ zachodzi nierówność

$ (1) \qquad p_1p_2\ldots p_n+\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\ldots+\frac{1}{p_n} \geq \frac{1}{p_1p_2\ldots p_n}+p_1+p_2+\ldots+ p_n $

oraz, że

(2) równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $p_2=p_3 = \ldots =p_n = 1.$

Dla $n = 2$ nierówność (1) przybiera postać

$ p_1p_2+\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}\geq \frac{1}{p_1p_2}+p_1+p_2. $

Jest ona równoważna nierówności

$ p_1^2p_2^2-p_1^2p_2-p_1p_2^2+p_1p_2\geq p_1p_2-p_1-p_2+1, $

czyli $p_1p_2(p_1 - 1)(p_2 - 1) \geq (p_1 - 1)(p_2 - 1)$ , co przy założeniu $p_1 \geq p_2 \geq 1$ jest spełnione. Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $p_2 - 1 = 0$ .

Załóżmy teraz prawdziwość nierówności (1) oraz stwierdzenia (2) dla pewnego $n \geq 2$ . Niech ponadto dane będą liczby $p_1 \geq p_2 \geq \ldots \geq p_{n} \geq p_{n+1} \geq 1$ . Wówczas $p_1 p_2 \geq p_3 \geq \ldots \geq p_{n+1} \geq 1$ , skąd na mocy założenia indukcyjnego

$ (4)\begin{split} (p_1p_2)p_3\ldots p_n p_{n+1}+\frac{1}{p_1p_2}+\frac{1}{p_3}+\ldots+\frac{1}{p_n}+\frac{1}{p_{n+1}} \geq\\ \qquad \geq \frac{1}{(p_1p_2)p_3\ldots p_n p_{n+1}}+p_1p_2+p_3+\ldots+ p_n +p_{n+1} \end{split} $

oraz równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $p_3= \ldots=p_n=p_{n+1} = 1$ . Dodanie nierówności (3) i (4) stronami daje

$ \begin{split} p_1p_2p_3\ldots p_n p_{n+1} +\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_3}+\ldots+\frac{1}{p_n}+\frac{1}{p_{n+1}} \geq\\ \qquad \geq \frac{1}{p_1p_2p_3\ldots p_n p_{n+1}}+p_1+p_2+p_3+\ldots+ p_n +p_{n+1}. \end{split} $

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $p_2 =p_3= \ldots=p_n=p_{n+1} = 1$ .

Ze stwierdzenia (2) wynika zatem, że wielomiany spełniające warunki zadania mają postać $P(x) = a(x+1)^{n-1}(x + b)$ , gdzie $a$ jest dowolną niezerową liczbą rzeczywistą, zaś $b\geq 1$ .