L OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

L OM, 1998-1999

Etap:

Punkty $D$ , $E$ , $F$ leżą odpowiednio na bokach $BC$ , $CA$ , $AB$ trójkąta $ABC$ . Okręgi wpisane w trójkąty $AEF$ , $BFD$ , $CDE$ są styczne do okręgu wpisanego w trójkąt $DEF$ . Udowodnić, że proste $AD$ , $BE$ , $CF$ przecinają się w jednym punkcie.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $c_1$ okrąg wpisany w trójkąt $DEF$ , zaś przez $c_2$ okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ . Ponieważ okręgi wpisane w trójkąty $AEF$ i $DEF$ są styczne, więc $AF + DE = AE + DF$ . To oznacza, że w czworokąt $AEDF$ można wpisać okrąg; oznaczmy ten okrąg przez $c_A$ . Punkt $D$ jest środkiem jednokładności $j_1$ , o skali dodatniej, przekształcającej okrąg $c_1$ na $c_A$ , punkt $A$ jest środkiem jednokładności $j_2$ , o skali dodatniej, przekształcającej okrąg $c_A$ na $c_2$ . Zatem jednokładność $j$ , o skali dodatniej, przekształcająca okrąg $c_1$ na $c_2$ jest złożeniem jednokładności $j_1$ i $j_2$ — jej środek leży więc na prostej $AD$ . Analogicznie dowodzimy, że środek jednokładności $j$ leży na prostych $BE$ i $CF$ .

Wniosek: proste $AD$ , $BE$ , $CF$ mają punkt wspólny, będący środkiem jednokładności okręgów $c_1$ i $c_2$ .