L OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

L OM, 1998-1999

Etap:

Dana jest liczba $x_1 > 0$ . Ciag $(x_n)$ jest zdefiniowany wzorem:

$ x_{n+1} = x_n +\frac{1}{x_n^2}\quad \textrm{dla}\ n = 1, 2, 3,\ldots . $

Udowodnić, że istnieje granica $\lim_{n\to \infty} \frac{x_n}{\sqrt[3]{n}}$ i obliczyć ją.

Rozwiązanie

W rozwiązaniu skorzystamy z następującego twierdzenia:

Jeżeli ciąg $(a_n)$ jest zbieżny do granicy $g$ , to ciąg $(b_n)$ , określony wzorem

$ b_n=\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}, $

jest również zbieżny i jego granica wynosi $g$ .

Podstawmy $y_n = x_n^3$ . Wtedy

$ y_{n+1}=y_n\left(1+\frac{1}{y_n}\right)^3=y_n+3+\frac{3}{y_n}+\frac{1}{y_n^2}. $

Skoro $y_{n+1} > y_n + 3$ , to ciąg $(y_n)$ jest rozbieżny do nieskończoności. Zatem na mocy powyższej równości $(y_{n+1} - y_n) \rightarrow 3$ . Z ostatniej zbieżności oraz z zacytowanego wyżej twierdzenia dostajemy $\frac{y_n}{n}\rightarrow 3$ , skąd $\lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{\sqrt[3]{n}}=\sqrt[3]{3}$ .