LX OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

LX OM, 2008-2009

Etap:

Rozłączne okręgi $o_1$ i $o_2$ o środkach odpowiednio $I_1$ i $I_2$ są styczne do prostej
$k$ odpowiednio w punktach $A_1$ i $A_2$ oraz leżą po tej samej jej stronie. Punkt $C$ leży na odcinku
$I_1I_2$ , przy czym $\meqsuredangle A_1CA_2 =90^{\circ}$ . Dla $i=1,2$ niech $B_i$ będzie punktem różnym od
$A_i$ , w którym prosta $A_iC$ przecina okrąg $o_i$ . Dowieść, że prosta $B_1B_2$ jest styczna do okręgów
$o_1$ i $o_2$ .

Rozwiązanie

Niech prosta styczna do okręgu $o_1$ w punkcie $B_1$ przecina prostą $A_1A_2$ w punkcie $D$ .
(Punkt przecięcia istnieje, gdyż punkt $C$ nie leży na prostej $A_1I_1$ , a więc odcinek $A_1B_1$
nie jest średnicą okręgu $o_1$ .) Trójkąt $A_1B_1D$ jest wówczas równoramienny, gdyż dwa jego boki
są odcinkami stycznych do okręgu $o_1$ poprowadzonymi z punktu $D$ . Wobec tego prosta
$DI_1$ jako dwusieczna kąta $\measuredangle A_1DB_1$ jest prostopadła do cięciwy $A_1B_1$ ,
a więc równoległa do prostej $CA_2$ .

Udowodnimy, że proste $A_1B_1$ i $DI_2$ są równoległe.

Jeżeli $A_1A_2 || I_1I_2$ , to $A_1A_2 = I_1I_2$ i czworokąt $I_1CA_2D$ jest równoległobokiem.
W takim razie $CI_2 = A_1D$ i czworokąt $CI_2DA_1$ także jest równoległobokiem. W szczególności
więc $A_1B_1 || DI_2$ .

Jeżeli natomiast proste $A_1A_2$ i $I_1I_2$ przecinają się w punkcie $E$ , to stosując dwukrotnie
twierdzenie Talesa do kąta $\measuredangle A_1EI_1$ przeciętego prostymi równoległymi $I_1D$ , $CA_2$
oraz $I_1A_1$ , $I_2A_2$ otrzymujemy

$<br /> \frac{EC}{EI_2}= \frac{EC}{EI_1}\cdot \frac{EI_1}{EI_2} = \frac{EA_2}{ED} \cdot \frac{EA_1}{EA_2}<br /> = \frac{EA_1}{ED}<br />$

co w połączeniu z twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Talesa znowu daje zależność $A_1B_1 || DI_2$ .

Wykazana właśnie równoległość wraz z danym w treści zadania warunkiem $\measuredangle A_1CA_2 = 90^{\circ}$
pozwala wnioskować, że proste $DI_2$ i $B_2A_2$ są prostopadłe. Zauważmy teraz, że prosta $DI_2$ przechodzi
przez środek okręgu $o_2$ . W efekcie punkty $B_2$ i $A_2$ są symetryczne względem prostej $DI_2$
(gdyż są końcami cięciwy prostopadłej do tej prostej) oraz proste $DB_2$ i $DA_2$ są symetryczne
względem tej prostej. Skoro zaś prosta $DA_2$ jest styczna do okręgu $o_2$ , to również prosta $DB_2$
jest doń styczna, co kończy rozwiązanie zadania.