W urnie znajdują się dwie kule: biała i czarna. Ponadto mamy do dyspozycji 
kul białych i czarnych. Wykonujemy razy następującą czynność: losujemy z urny kulę, a następnie wrzucamy ją z powrotem do urny oraz dokładamy jedną kulę tego samego koloru, co wylosowana kula. Po zakończeniu tych czynności mamy więc w urnie 
kule. Jaka liczba kul białych znajdujących się w urnie jest najbardziej prawdopodobna?
Niech 
, gdzie 
, oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że gdy w urnie jest 
kul, to dokładnie 
z nich ma kolor biały. Wówczas
![\[<br />
P(1,2) = 1\quad \textrm{oraz}\quad P(k,n+1) = \frac{n-k}{n} P(k,n)+ \frac{k-1}{n} P(k - 1,n).<br />
\]](/files/tex/3f50031ec136ac2898b8082c6271afdfeab5258f.png) |
Korzystając z powyższych związków dowodzimy indukcyjnie (ze względu na ), że 
dla 
. W szczególności
![\[<br />
P(k,52) = \frac{1}{51}\ \textrm{dla}\ k=1,2,\ldots,51.<br />
\]](/files/tex/42320e5f66f3ca845f55ee5c2142f91a1fe93efd.png) |
Zatem każda możliwa liczba kul białych po losowaniach (od 
do 
) jest jednakowo prawdopodobna.