L OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

L OM, 1998-1999

Etap:

Wszystkie wierzchołki sześcianu o krawędzi $a$ leżą na powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi 1. Wyznaczyć możliwe wartości $a$ .

Rozwiązanie

Z warunków zadania wynika, że dany sześcian $ABCDA'B'C'D'$ leży wewnątrz danego czworościanu $KLMN$ . Możliwe są dwa przypadki:

Istnieje ściana czworościanu $KLMN$ (na przykład $KLM$ ), na której leżą co najmniej trzy wierzchołki sześcianu;
Na każdej ścianie czworościanu $KLMN$ leżą dokładnie dwa wierzchołki sześcianu.

Rozważmy najpierw przypadek (a). Trzy wierzchołki sześcianu, które leżą na ścianie $KLM$ , muszą być wierzchołkami jednej ściany tego sześcianu. To oznacza, że pewna ściana sześcianu, powiedzmy $ABCD$ , leży wewnątrz trójkąta $KLM$ ; pozostałe cztery wierzchołki $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ znajdują się na ścianach $KLN$ , $LMN$ , $MKN$ . Bez straty ogólności możemy przyjąć, że ściana $KLN$ zawiera któreś dwa spośród punktów $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ . Muszą one być dwoma kolejnymi wierzchołkami kwadratu $A'B'C'D'$ . Nie tracąc ogólności rozważań, możemy przyjąć, że punkty $A'$ , $B'$ leżą na ścianie $KLN$ , punkt $C'$ leży na ścianie $LMN$ , zaś punkt $D'$ znajduje się na ścianie $MKN$ .

Warunek (a) wyznacza więc jednoznacznie (z dokładnością do przyjętych oznaczeń) położenie danego sześcianu wewnątrz czworościanu foremnego o krawędzi $1$ . Przystępujemy do wyznaczenia długości krawędzi $a$ .

Oznaczmy przez $K'$ , $L'$ , $M'$ , odpowiednio punkty przecięcia krawędzi $KN$ , $LN$ , $MN$ z płaszczyzną $A'B'C'D'$ . Czworościan $K'L'M'N$ jest foremny. Oznaczmy jego krawędź przez $b$ . Wtedy $K'A' = B'L' = \frac{\sqrt{3}}{3}a$ , skąd

$ (1) \qquad b = a+\frac{2\sqrt{3}}{3}a. $

Wysokość czworościanu foremnego o krawędzi $\lambda$ wyraża się wzorem $h = \frac{\sqrt{6}}{3}\lambda$ . Porównując wysokości czworościanów $KLMN$ oraz $K'L'M'N$ otrzymujemy równość $\frac{\sqrt{6}}{3}b + a =\frac{\sqrt{6}}{3}$ , skąd wykorzystując równość (1) mamy

$ a=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}+2\sqrt{2}+3}. $

Pozostał do rozpatrzenia przypadek (b).

Każdy z czterech odcinków łączących wierzchołki danego sześcianu, leżące na tej samej ścianie czworościanu $KLMN$ , jest krawędzią tego sześcianu. Odcinki te nie mają wspólnych końców. Przypuśćmy, że krawędź $AB$ leży na ścianie $KLM$ . Wówczas jedna z krawędzi $A'B'$ lub $CD$ leży na jednej ze ścian $KLN$ , $LMN$ , $MKN$ . Bez straty ogólności przyjmijmy, że $A'B'$ leży na $KLN$ . Wtedy proste $AB$ i $A'B'$ są równoległe do krawędzi $KL$ , a co za tym idzie, proste $CD$ i $C'D'$ , są prostopadłe do krawędzi $MN$ ; nie mogą więc one leżeć na ścianach $LMN$ i $KMN$ . Możemy zatem założyć, że odcinek $CC'$ leży na ścianie $LMN$ , zaś odcinek $DD'$ znajduje się na ścianie $KMN$ .

Oznaczmy przez $X$ , $Y$ , $Z$ , $T$ odpowiednio środki krawędzi $KN$ , $NL$ , $LM$ , $MK$ . Wówczas kwadraty $A'B'BA$ oraz $D'C'CD$ mają boki równoległe odpowiednio do boków kwadratu $XYZT$ . Stąd istnieje (w przestrzeni) środek jednokładności $P$ kwadratów $A'B'BA$ i $XYZT$ , leżący na krawędzi $KL$ oraz środek jednokładności $Q$ kwadratów $D'C'CD$ i $XYZT$ , leżący na krawędzi $MN$ . Skale jednokładności w obu przypadkach są równe i wynoszą $2a$ . Odległości od punktów $P$ i $Q$ do płaszczyzny $XYZT$ są równe i wynoszą $\sqrt{2}/4$ . Stąd wynika, że odległości od płaszczyzn $A'B'BA$ i $D'C'CD$ do płaszczyzny $XYZT$ są równe — a więc każda z nich wynosi $a/2$ . Te trzy wielkości są związane ze sobą zależnością