L OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

L OM, 1998-1999

Etap:

Dana jest funkcja $f: \langle 0,1 \rangle \to \mathbb{R}$ taka, że $f(\frac{1}{n}) = (-1)^n$ dla $n = 1, 2,\ldots$ . Wykazać, że nie istnieją takie funkcje rosnące $g: \langle 0,1 \rangle \to \mathbb{R}$ , $h: \langle 0,1 \rangle \to \mathbb{R}$ , że $f = g - h$ .

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że istnieją funkcje $g$ i $h$ spełniające warunki zadania. Ponieważ funkcje te są rosnące, więc dla każdego $k \in \mathbb{N}$ mamy

$ \begin{split} g\left(\frac{1}{2k+1}\right)&=f\left(\frac{1}{2k+1}\right)+h\left(\frac{1}{2k+1}\right)=\\ &=-1+h\left(\frac{1}{2k+1}\right)< - 1 +h\left(\frac{1}{2k}\right)=1+h\left(\frac{1}{2k}\right)-2=\\ &=f\left(\frac{1}{2k}\right)+h\left(\frac{1}{2k}\right)-2=g\left(\frac{1}{2k}\right)-2< g\left(\frac{1}{2k-1}\right)-2. \end{split} $

Z monotoniczności funkcji $g$ oraz powyższych nierówności dostajemy

$ \begin{split} g(0) < g\left(\frac{1}{2k+1}\right) < & g\left(\frac{1}{2k-1}\right)-2 < g\left(\frac{1}{2k-3}\right)-4 < \ldots < \\ & < g\left(\frac{1}{3}\right)-2(k-1) < g(1)-2k. \end{split} $

Zatem $g(1)-g(0) > 2k$ dla dowolnego $k\in \mathbb{N}$ , co nie jest możliwe.