L OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

L OM, 1998-1999

Etap:

Sześcian $S$ o krawędzi $2$ jest zbudowany z ośmiu sześcianów jednostkowych. Klockiem nazwiemy bryłę otrzymaną przez usunięcie z sześcianu $S$ jednego spośród ośmiu sześcianów jednostkowych. Sześcian $T$ o krawędzi $2^n$ jest zbudowany z $(2^n)^3$ sześcianów jednostkowych. Udowodnić, że po usunięciu z sześcianu $T$ dowolnego spośród $(2^n)^3$ sześcianów jednostkowych powstaje bryła, którą daje się szczelnie wypełnić klockami.

Rozwiązanie

Przeprowadzimy dowód indukcyjny. Dla $n = 1$ teza zadania jest oczywiście prawdziwa. Załóżmy więc, że teza jest prawdziwa dla pewnego $n$ i rozważmy sześcian $C$ o krawędzi $2^{n+1}$ z wyróżnionym sześcianem jednostkowym $D$ . Sześcian $C$ dzielimy na osiem przystających sześcianów $C_1,C_2,\ldots,C_8$ , każdy o krawędzi $2^n$ . W jednym z nich (przyjmijmy, że w $C_8$ ) znajduje się sześcian jednostkowy $D$ . Połóżmy klocek w samym środku sześcianu $C$ tak, aby jego część wspólna z każdym z sześcianów $C_1,C_2,\ldots,C_7$ była sześcianem jednostkowym. Wówczas pozostanie nam do wypełnienia klockami osiem sześcianów $C_1,C_2,\ldots,C_8$ , każdy z usuniętym sześcianem jednostkowym. To zaś, na mocy założenia indukcyjnego, jest wykonalne. Dowód indukcyjny jest więc zakończony.