L OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

L OM, 1998-1999

Etap:

Czworokąt wypukły $ABCD$ jest wpisany w okrąg. Punkty $E$ i $F$ leżą odpowiednio na bokach $AB$ i $CD$ , przy czym $AE: EB = CF: FD$ . Punkt $P$ leży na odcinku $EF$ i spełnia warunek $EP: PF = AB: CD$ . Udowodnić, że stosunek pól trójkątów $APD$ i $BPC$ nie zależy od wyboru punktów $E$ i $F$ .

Rozwiązanie

Załóżmy najpierw, że proste $AD$ i $BC$ nie są równoległe i przecinają się w punkcie $S$ . Wówczas trójkąty $ASB$ i $CSD$ są podobne. Ponieważ $AE : EB = CF : FD$ , więc podobne są również trójkąty $ASE$ i $CSF$ . Stąd $\measuredangle DSE = \measuredangle CSF$ . Ponadto

$<br /> \frac{SE}{SF}=\frac{SA}{SC}=\frac{AB}{CD}=\frac{PE}{PF},<br />$

skąd dostajemy $\measuredangle ESP = \measuredangle FSP$ . Zatem punkt $P$ jest równoodległy od prostych $AD$ i $BC$ . Stosunek pól trójkątów $APD$ i $BPC$ jest więc równy stosunkowi długości odcinków $AD$ i $BC$ , czyli nie zależy od wyboru punktów $E$ i $F$ .

Załóżmy teraz, że proste $AD$ i $BC$ są równoległe. Wtedy $ABCD$ jest trapezem równoramiennym, gdzie $AB = CD$ . Punkt $P$ jest środkiem odcinka $EF$ oraz $BE = DF$ . Punkty $E$ i $F$ są więc jednakowo odległe odpowiednio od prostych $BC$ i $AD$ . Ponadto punkt $P$ jest równoodległy od prostych przechodzących przez punkty $E$ , $F$ i równoległych do podstaw trapezu $ABCD$ . Zatem również w tym przypadku odległości od punktu $P$ do prostych $AD$ i $BC$ są jednakowe. Powtarzając końcówkę rozumowania z poprzedniego przypadku dostajemy tezę.