L OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

L OM, 1998-1999

Etap:

Punkt $P$ leży wewnątrz trójkąta $ABC$ i spełnia warunki: $\measuredangle PAB = \measuredangle PCA$ oraz $\measuredangle PAC = \measuredangle PBA$ . Punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ . Dowieść, że jeżeli $O \ne P$ , to kąt $APO$ jest prosty.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $K$ , $L$ , $M$ odpowiednio punkty przecięcia prostych $AP$ , $BP$ , $CP$ z okręgiem opisanym na trójkącie $ABC$ . Na mocy równości $\measuredangle BAK = \measuredangle ACM$ długości łuków $BK$ i $AM$ są równe. Analogicznie, długości łuków $KC$ i $LA$ są równe. Odcinki $LC$ , $AK$ , $MB$ są więc równoległe oraz mają wspólną symetralną, przechodzącą przez punkt $O$ . Na tej symetralnej leży również punkt $P$ , jako punkt przecięcia przekątnych $MC$ i $BL$ trapezu równoramiennego $MBCL$ . Zatem w szczególności $\measuredangle APO = 90^\circ$ .