Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

Strona główna > Wersja do wydruku > Wersja do wydruku

L OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne: 
L OM, 1998-1999
Etap: 
III

Punkt $ D $ leży na boku $ BC $ trójkata $ ABC $, przy czym $ AD > BC $. Punkt $ E $ leży na boku $ AC $ i spełnia warunek

\[<br /> \frac{AE}{EC}= \frac{BD}{AD - BC}.<br /> \]

Udowodnić, że $ AD > BE $.

Rozwiązanie

om50_3r_img_1.jpg

Uzupełniamy trójkąt $ BDA $ do równoległoboku $ BDAF $. Na półprostej $ BC^\to $ odkładamy odcinek $ BK $ o długości $ AD $. Dana w zadaniu zależność przyjmuje teraz postać

\[<br /> \frac{AE}{EC}=\frac{AF}{CK}.<br /> \]

Z tej równości oraz z równoległości odcinków $ CK $ i $ AF $ wynika, że punkty $ F $, $ E $, $ K $ są współliniowe.

Punkt $ E $ leży więc na podstawie $ KF $ trójkąta równoramiennego $ BKF $. Stąd dostajemy $ BF >BE $, czyli $ AD > BE $.

© Prawa autorskie Polskie Towarzystwo Matematyczne | Serwis znajduje się na serwerze MIMUW | Projekt: Krystyna Jaworska | Realizacja: Paweł Witkowski INTools, Tomasz Filar
Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/418