LX OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

LX OM, 2008-2009

Etap:

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o opisanego na czworokącie wypukłym $ABCD$ , którego przekątne
przecinają się w punkcie $E$ . Proste styczne do okręgu o w punktach $C$ i $D$ przecinają się w punkcie
$P$ .

Udowodnić, że $PC = PE$ .

Rozwiązanie

Niech $Q$ będzie punktem przecięcia prostych $AD$ i $BC$ .

Zauważmy najpierw, że na mocy warunków zadania proste $AC$ i $BD$ są wysokościami trójkąta $ABQ$ .
Zatem prosta $QE$ jest jego trzecią wysokością i wobec tego przecina prostą $AB$ w pewnym punkcie $F$
pod kątem prostym.

W trójkącie $ECQ$ kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty, a środek $P'$ odcinka $QE$ jest środkiem
przeciwprostokątnej. Stąd uzyskujemy zależności $\measuredangle P'CQ=\measuredangle P'QC =\measuredangle FQB$ .
Ponadto trójkąty prostokątne $ACB$ i $QFB$ mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku $B$ ,
zatem ich pozostałe kąty ostre są równe: $\measuredangle FQB = \measuredangle CAB$ .
Udowodniliśmy tym samym, że

$<br /> \measuredangle P'CQ = \measuredangle CAB.<br />$

To oznacza, że prosta $P'C$ jest styczna do okręgu o w punkcie $C$ .

Podobnie dowodzimy, że prosta $P'D$ jest styczna do okręgu o w punkcie $D$ .
Stąd i z określenia punktu $P$ wynika, że $P'=P$ . Innymi słowy, punkt $P$ jest środkiem przeciwprostokątnej
w trójkącie prostokątnym $ECQ$ , skąd natychmiast wynika żądana równość $PC = PE$ .