L OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

L OM, 1998-1999

Etap:

III

Dowieść, że istnieją takie liczby naturalne $n_1 <n_2 < \ldots < n_{50}$ , że

$ n_1 + S(n_1)= n_2 + S(n_2)= n_3 + S(n_3)= \ldots = n_{50} + S(n_{50}) , $

gdzie $S(n)$ jest sumą cyfr liczby $n$ .

Rozwiązanie

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$ \begin{split} a_1(k)&=10^{10^k+k+1}-9\cdot 10^k=\underbrace{9999\ldots 99}_{10^k}1\underbrace{0000\ldots 00}_{k}\ ,\\ a_2(k)&=10^{10^k+k+1}=1\underbrace{0000\ldots 00}_{10^k+k+1}. \end{split} $

Wówczas $a_1(k)+ S (a_1(k)) = a_2(k)+ S (a_2(k)) = 10^{10^k+k+1} +1$ . Określamy liczby $k_0,k_1,k_2,\ldots$ wzorami:

$ k_0 = 0\ \textrm{oraz}\ k_{i+1} = 10^{k_i} + k_i + 2\ \textrm{dla}\ i \geq 0 . $

Dla dowolnego ciągu $\varepsilon=(\varepsilon_0,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_5)$ , gdzie $\varepsilon_0,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_5 \in \{1, 2\}$ , przyjmijmy

$ n_\varepsilon = \sum_{i=0}^{5} a_{\varepsilon_i} (k_i) . $

Otrzymane w ten sposób $64$ liczby $n_\varepsilon$ są parami różne. Wykażemy, że dla wszystkich 64 ciągów $\varepsilon$ , wielkości $n_\varepsilon + S(n_\varepsilon)$ są jednakowe.

Ponieważ dla $i \in\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ liczba $a_{\varepsilon_i} (k_i)$ jest co najwyżej $k_{i+1}$ -cyfrowa i ma co najmniej $k_i$ zer końcowych, więc żadne dwie z liczb $a_{\varepsilon_i} (k_i)$ i $a_{\varepsilon_j} (k_j )$ (dla $i\neq j$ ) nie mają niezerowych cyfr na tym samym miejscu dziesiętnym. Stąd