L OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

L OM, 1998-1999

Etap:

III

Rozstrzygnąć, dla jakich liczb naturalnych $n \geq 2$ układ równań

$ \left\{\begin{array}{c} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+50=16x_{1}+12x_{2}\\ x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+50=16x_{2}+12x_{3}\\ x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+50=16x_{3}+12x_{4}\\ \vdots\\ x_{n-1}^{2}+x_{n}^{2}+50=16x_{n-1}+12x_{n}\\ x_{n}^{2}+x_{1}^{2}+50=16x_{n}+12x_{1} \end{array} \right. $

ma rozwiązanie w liczbach całkowitych $x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n$ .

Rozwiązanie

Równanie $x_1^2 + x_2^2+50 = 16x_1 + 12x_2$ jest równoważne równaniu

$ (x_1 - 8)^2 +(x_2 - 6)^2 = 50 . $

Liczby $x_1,x_2,\ldots,x_n$ spełniają dany w treści zadania układ równań wtedy i tylko wtedy, gdy punkty $(x_1,x_2), (x_2,x_3), \ldots, (x_n,x_1)$ leżą na okręgu o środku $(8, 6)$ i promieniu $\sqrt{50}$ . Na tym okręgu leży $12$ punktów o współrzędnych całkowitych: $(1, 5)$ , $(1, 7)$ , $(3, 1)$ , $(3, 11)$ , $(7, -1)$ , $(7, 13)$ , $(9, -1)$ , $(9, 13)$ , $(13, 1)$ , $(13, 11)$ , $(15, 5)$ , $(15, 7)$ .

Ponieważ każda z liczb $x_i$ występuje raz jako odcięta, a raz jako rzędna punktu kratowego leżącego na tym okręgu, wiec liczby $x_i$ mogą przyjmować tylko wartości $1$ , $7$ lub $13$ . To pozostawia nam trzy możliwe układy dla par $(x_i,x_{i+1})$ , a mianowicie: $(1, 7)$ , $(7, 13)$ lub $(13, 1)$ . Stąd wniosek, że w układzie liczb $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ będącym rozwiązaniem wyjściowego układu równań, występują cyklicznie liczby $1$ , $7$ , $13$ . Taka sytuacja jest możliwa wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą podzielną przez $3$ .