XLIX OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XLIX OM, 1997-1998

Etap:

Niech $A_n = \{1, 2,\ldots, n\}$ . Rozstrzygnąć, czy dla każdej liczby naturalnej $n \geq 2$ istnieją funkcje $f: A_n \to A_n$ , $g: A_n \to A_n$ , spełniające warunki:

$ f (f (k))= g(g(k)) = k\ \textrm{dla}\ k = 1, 2,\ldots,n; $

$ g(f (k)) = k + 1\ \textrm{dla}\ k = 1, 2,\ldots,n-1. $

Rozwiązanie

Dla każdej liczby naturalnej $n \geq 2$ istnieją funkcje o wymaganych własnościach. Oto przykład:

$ f(k)=\left\{\begin{array}{lll} n-k&\textrm{dla}&k<n,\\ n&\textrm{dla}&k=n, \end{array}\right. \quad g(k)=n+1-k. $