XLIX OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XLIX OM, 1997-1998

Etap:

W trójkącie $ABC$ kąt $BCA$ jest rozwarty oraz $\measuredangle BAC = 2\measuredangle ABC$ . Prosta przechodząca przez punkt $B$ i prostopadła do $BC$ przecina prosta $AC$ w punkcie $D$ . Punkt $M$ jest środkiem boku $AB$ . Dowieść, ze $\measuredangle AMC = \measuredangle BMD$ .

Rozwiązanie

Niech prosta równoległa do $AB$ i przechodząca przez punkt $C$ przecina odcinek $BD$ w punkcie $E$ . Oznaczmy przez $N$ środek odcinka $CE$ . Wówczas punkty $M$ , $N$ , $D$ są współliniowe. Trójkąt $BCE$ jest prostokątny, więc $N$ jest środkiem okręgu opisanego na nim. Stąd wynika, że trójkąt $BCN$ jest równoramienny, co daje następujące równości:

$<br /> \measuredangle BAC = 2\measuredangle ABC = \measuredangle ABC + \measuredangle BCN = \measuredangle ABC + \measuredangle CBN = \measuredangle ABN.<br />$

Czworokąt $ABNC$ jest więc trapezem równoramiennym, nie będącym równoległobokiem. Zatem punkt $N$ jest obrazem punktu $C$ w symetrii względem symetralnej odcinka $AB$ . To oznacza, że $\measuredangle AMC =\measuredangle BMN = \measuredangle BMD$ .