XLIX OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XLIX OM, 1997-1998

Etap:

(a) Liczby nieujemne $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ , których suma jest równa $1$ , spełniają zależność

$ ace +bdf \geq \frac{1}{108}. $

Udowodnić, że

$ abc + bcd + cde + def + ef a + f ab < \frac{1}{36} . $

(b) Rozstrzygnąć, czy istnieje sześć różnych liczb dodatnich $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ o sumie równej $1$ , dla których obie napisane wyżej nierówności stają się równościami.

Rozwiązanie

(a) Oznaczmy $A = ace + bdf$ , $B = abc + bcd + cde + def + efa + fab$ . Korzystając z nierówności pomiędzy średnią geometryczną i arytmetyczną otrzymujemy

$ A+B=(a+d)(b+e)(c+f)\leq \left(\frac{(a+d)+(b+e)+(c+f)}{3} \right)^3=\frac{1}{27}. $

Stąd $B\leq \frac{1}{27}-A\leq \frac{1}{27} -\frac{1}{108}=\frac{1}{36}.$

(b) Takie liczby istnieją. Aby dane w zadaniu nierówności stały się równościami potrzeba i wystarcza, aby

$ A+B=\frac{1}{27},\ A=\frac{1}{108}. $

Pierwsza z powyższych równości zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy liczby $a + d$ , $b + e$ , $c + f$ są równe $\frac{1}{3}$ . Obliczając $b = \frac{1}{3} - e$ , $d=\frac{1}{3} - a$ , $f = \frac{1}{3} - c$ i podstawiając te wartości do drugiej równości otrzymujemy

$ ace+\left(\frac{1}{3}-e\right)\left(\frac{1}{3}-a\right)\left(\frac{1}{3}-c\right) = \frac{1}{108}. $

Stąd dane nierówności stają się równościami wtedy i tylko wtedy, gdy

$ ac + ce + ae + \frac{1}{12} = \frac{1}{3}(a + c + e), \quad \textrm{gdzie}\ 0 < a, c, e < \frac{1}{3}. $

Pozostaje znaleźć takie liczby $a$ , $c$ , żeby po wyznaczeniu z powyższej równości liczby $e$ - a następnie liczb $b$ , $d$ , $f$ - otrzymać sześć różnych liczb dodatnich. Rozwiązań jest dużo, oto przykład jednego z nich:

$ a=\frac{1}{4},\ b=\frac{1}{5},\ c=\frac{2}{9},\ d=\frac{1}{12},\ e=\frac{2}{15},\ f=\frac{1}{9}. $