XLIX OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XLIX OM, 1997-1998

Etap:

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych $x$ , $y$ spełniające równanie

$ x^2 + 3y^2 = 1998x. $

Rozwiązanie

Przyjmijmy, że liczby całkowite $x$ , $y$ spełniają zadane równanie i że $y \neq 0$ ; wówczas także $x \neq 0$ . Liczba $x$ jest jednym z pierwiastków trójmianu kwadratowego $t^2 - 1998t+ 3y^2$ ; niech $z$ będzie drugim pierwiastkiem. Ze wzorów $x + z = 1998$ , $xz = 3y^2$ wynika, że $z$ też jest liczbą całkowitą oraz że $x,z > 0$ . Oznaczmy największy wspólny dzielnik liczb $x$ , $z$ przez $d$ ; tak więc $x = ud$ , $z = wd$ ,

$ (1)\qquad (u + w)d = 1998 = 2\cdot 3^3\cdot 37,\quad uwd^2 = 3y^2 . $

Liczby $u$ , $w$ są względnie pierwsze, więc z drugiego wzoru widać, że

$ (2) \qquad u = 3a^2 , w = b^2 \qquad \textrm{lub} \qquad w = 3a^2 , u = b^2 $

dla pewnych liczb naturalnych $a$ , $b$ , przy czym $b$ nie dzieli się przez $3$ . Z pierwszego wzoru (1) wnosimy teraz, że $d$ , dzieli się przez $3^3$ . Przyjmijmy $d = 3^3c$ . Dostajemy równanie $(3a^2 + b^2)c = 2\cdot 37$ . Czynnik $(3a^2 + b^2)$ , jako większy od $3$ , musi być równy $37$ lub $2\cdot 37$ . Druga możliwość łatwo prowadzi do sprzeczności. Zatem $c = 2$ (czyli $d = 54$ ) i mamy równanie $3a^2 + b^2 = 37$ , z jednym rozwiązaniem w liczbach naturalnych $a = 2$ , $b = 5$ . Wracając do alternatywy (2) stwierdzamy, że $u = 12$ lub $u = 25$ , wobec czego

$ x = 12 \cdot 54 = 648 \quad \textrm{lub} \quad x = 25 \cdot 54 = 1350. $

Drugi wzór (1) daje w obu przypadkach wartości $y = \pm 540$ .

Pozostał przypadek, gdy $y = 0$ ; wtedy $x = 0$ lub $x = 1998$ . Następujące pary $(x,y)$ stanowią zatem pełne rozwiązanie równania: $(0,0)$ , $(1998,0)$ , $(648,540)$ , $(648,-540)$ , $(1350, 540)$ , $(1350, -540)$ .