XLIX OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XLIX OM, 1997-1998

Etap:

Liczby nieujemne $a_1, a_2,\ldots, a_7$ , $b_1, b_2,\ldots, b_7$ spełniają warunek

$ a_i + b_i \leq 2 \quad \textrm{dla}\ i = 1, 2,\ldots, 7. $

Wykazać, że dla pewnych dwóch różnych liczb $k, m \in \{1, 2,\ldots, 7\}$ zachodzi nierówność $|a_k - a_m| + |b_k - b_m| \leq 1$ .

Rozwiązanie

Zaznaczmy w układzie współrzędnych punkty $P_i = (a_i,b_i)$ $(i = 1, 2,\ldots, 7)$ . Z warunków zadania wynika, że punkty te leżą wewnątrz lub na obwodzie trójkąta o wierzchołkach $(0, 0)$ , $(2, 0)$ , $(0,2)$ . Podzielmy ten trójkąt na sześć obszarów: dwa kwadraty i cztery trójkąty prostokątne, jak na rysunku. Punktów jest siedem, więc pewne dwa z nich - na przykład $P_k$ i $P_m$ - leżą w tym samym obszarze $\mathcal{O}$ danego podziału.

Jeśli obszarem $\mathcal{O}$ jest kwadrat, to przez $Q = (u, w)$ oznaczmy jego środek; jeśli zaś obszarem $\mathcal{O}$ jest trójkąt prostokątny, to niech $Q = (u, w)$ będzie środkiem jego przeciwprostokątnej. W obu przypadkach $|x - u| + |y - w| \leq \frac{1}{2}$ dla punktów $(x,y)$ należących do obszaru $\mathcal{O}$ . W szczególności

$ |a_k - u| + |b_k - w| \leq \frac{1}{2}\quad \textrm{oraz} \quad |a_m - u| + |b_m - w| \leq \frac{1}{2}. $

Stąd dostajemy

$ \begin{split} &|a_k-a_m|+|b_k-b_m|=|(a_k-u)+(u-a_m)|+|(b_k-w)+(w-b_m)|\leq\\ &\qquad\qquad \leq |a_k-u|+|u-a_m|+|b_k-w|+|w-b_m|=\\ &\qquad\qquad = (|a_k-u|+|b_k-w|)+(|a_m-u|+|b_m-w|) \leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1. \end{split} $