XLIX OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XLIX OM, 1997-1998

Etap:

Dany jest czworościan $ABCD$ . Dowieść, że krawędzie $AB$ i $CD$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w przestrzeni taki równoległobok $CDPQ$ , że $PA = PB = PD$ oraz $QA = QB = QC$ .

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $k$ prostą prostopadłą do płaszczyzny trójkąta $ABC$ i przechodzącą przez środek okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ . Analogicznie, przez $\ell$ oznaczmy prostą prostopadłą do płaszczyzny trójkąta $ABD$ i przechodzącą przez środek okręgu opisanego na trójkącie $ABD$ . Proste $k$ , $\ell$ przecinają się w przestrzeni (w środku sfery opisanej na czworościanie $ABCD$ ) oraz obie są prostopadłe do krawędzi $AB$ . Zatem płaszczyzna $\pi$ , zawierająca proste $k$ i $\ell$ jest prostopadła do krawędzi $AB$ czworościanu $ABCD$ .

Załóżmy najpierw, że istnieje taki równoległobok $CDPQ$ , że $PA = PB = PD$ oraz $QA = QB = QC$ . Wówczas punkt $P$ leży na prostej $\ell$ , punkt $Q$ leży na prostej $k$ . Prosta $PQ$ leży w płaszczyźnie $\pi$ , co oznacza, że jest ona prostopadła do krawędzi $AB$ . A ponieważ $CD \parallel PQ$ , więc $CD \perp AB$ .

Załóżmy teraz, że krawędzie $AB$ i $CD$ są prostopadłe. Wtedy prosta $CD$ jest równoległa do płaszczyzny $\pi$ . Przesuwając prostą $k$ o wektor $\overrightarrow{CD}$ otrzymamy prostą $k'$ leżącą także w płaszczyźnie $\pi$ (i nie równoległą do $\ell$ ). Istnieje więc punkt wspólny prostych $k'$ i $\ell$ , który oznaczymy przez $P$ . Niech $Q$ będzie obrazem punktu $P$ w translacji o wektor $\overrightarrow{DC}$ . Wówczas punkt $Q$ leży na prostej $k$ . Punkt $P$ leży na prostej $\ell$ . Czworokąt $CDPQ$ jest równoległobokiem, w którym $PA = PB = PD$ oraz $QA = QB = QC$ .