Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XLIX OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XLIX OM, 1997-1998

Etap:

III

Znaleźć wszystkie układy liczb całkowitych $(a, b, c, x, y, z)$ spełniające układ równań

$<br /> \left\{\begin{array}{l}<br /> a + b + c = xyz\\<br /> x + y + z = abc<br /> \end{array}\right.<br />$

oraz warunki $a\geq b \geq c \geq 1$ , $x\geq y\geq z \geq 1$ .

Rozwiązanie

Dodając równania danego układu stronami i przekształcając otrzymujemy równość $A + B + X + Y = 4$ , gdzie

$<br /> \begin{array}{ll}<br /> A = (ab - 1)(c - 1), & B = (a- 1)(b- 1),\\<br /> X = (xy-1)(z-1), & Y = (x-1)(y-1).<br /> \end{array}<br />$

Liczby $A$ , $B$ , $X$ , $Y$ są liczbami całkowitymi nieujemnymi. Jeśli $c \geq 2$ , to $A \geq 3$ , $B \geq 1$ i w konsekwencji $A = 3$ , $B = 1$ , $X = 0$ , $Y = 0$ , co daje rozwiązanie

$<br /> (a,b,c,x,y,z) = (2,2,2,6,1,1).<br />$

Analogicznie, założenie $z \geq 2$ prowadzi do rozwiązania

$<br /> (a,b,c,x,y,z) = (6,1,1,2,2,2).<br />$

Pozostaje możliwość $c = z = 1$ . Wówczas $A = X = 0$ , więc $B + Y = 4$ . W wyniku prostego rozumowania otrzymujemy dalszych pięć układów $(a,b,c,x,y,z)$ spełniających zadane równania:

$<br /> (3,2,1,3,2,1),\ (3,3,1,7,1,1),\ (5,2,1,8,1,1),\ (7,1,1,3,1,1),\ (8,1,1,5,2,1).<br />$

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/430