XLIX OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XLIX OM, 1997-1998

Etap:

III

Pięciokąt wypukły $ABCDE$ jest podstawą ostrosłupa $ABCDES$ . Płaszczyzna przecina krawędzie $SA$ , $SB$ , $SC$ , $SD$ , $SE$ odpowiednio w punktach $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ , $E'$ (różnych od wierzchołków ostrosłupa). Udowodnić, że punkty przecięcia przekątnych czworokątów $ABB'A'$ , $BCC'B'$ , $CDD'C'$ , $DEE'D'$ , $EAA'E'$ leżą na jednej płaszczyźnie.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $\pi$ i $\pi'$ płaszczyzny zawierające odpowiednio punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ oraz $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D$ ', $E'$ . Ponadto niech $K$ , $L$ , $M$ , $N$ , $O$ będą punktami przecięcia przekątnych czworokątów $ABB'A'$ , $BCC'B'$ , $CDD'C'$ , $DEE'D'$ , $EAA'E'$ (odpowiednio).

Załóżmy najpierw, że płaszczyzny $\pi$ i $\pi'$ są równoległe. Wówczas stosunek odległości tych płaszczyzn od każdego z punktów $K$ , $L$ , $M$ , $N$ , $O$ jest taki sam. Punkty te leżą więc na jednej płaszczyźnie, równoległej do płaszczyzn $\pi$ i $\pi'$ .

Załóżmy teraz, że płaszczyzny $\pi$ i $\pi'$ nie są równoległe. Oznaczmy przez $\ell$ ich wspólną prostą. Niech $\sigma$ będzie płaszczyzną zawierającą prostą $\ell$ i przechodzącą przez punkt $K$ . Ponieważ punkty $A$ , $C$ , $A'$ , $C'$ są współpłaszczyznowe, więc proste $AC$ i $A'C'$ są albo równoległe, albo przecinają się w punkcie $X$ należącym do prostej $\ell$ .

W pierwszym przypadku, zarówno prosta $KL$ (część wspólna płaszczyzn $AB'C$ , $A'BC'$ ) jak i prosta $\ell$ (część wspólna płaszczyzn $ABC$ , $A'B'C'$ ) są równoległe do prostych $AC$ i $A'C'$ . Proste $KL$ i $\ell$ są więc równoległe.

W drugim przypadku, punkty $K$ , $L$ , $X$ należą do obu płaszczyzn $AB'C$ i $A'BC'$ . Stąd wnioskujemy, że punkty te leżą na jednej prostej, czyli proste $KL$ i $\ell$ mają punkt wspólny. Zatem w obu przypadkach punkt $L$ należy do płaszczyzny $\sigma$ .

Rozważając płaszczyzny $BC'D$ , $B'CD'$ oraz korzystając z tego, że $L \in \sigma$ , poprzez rozumowanie analogiczne do powyższego dowodzimy, że punkt $M$ leży na płaszczyźnie $\sigma$ . Wnioskując tak jak wyżej jeszcze dwukrotnie dostajemy, że punkty $N$ , $O$ również leżą na płaszczyźnie $\sigma$ . Zatem punkty $K$ , $L$ , $M$ , $N$ , $O$ leżą na płaszczyźnie $\sigma$ , co kończy dowód.