Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XLIX OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XLIX OM, 1997-1998

Etap:

III

Punkty $D$ i $E$ leżą na boku $AB$ trójkąta $ABC$ i spełniają warunek

$<br /> \frac{AD}{DB}\cdot\frac{AE}{EB}=\left(\frac{AC}{CB}\right)^2.<br />$

Udowodnić, że $\measuredangle ACD =\measuredangle BCE$ .

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $\ell$ prostą przechodzącą przez punkt $A$ i równoległą do $BC$ . Proste $CD$ i $CE$ przecinają prostą $\ell$ odpowiednio w punktach $P$ i $Q$ .

Z warunków danych w zadaniu otrzymujemy

$<br /> \left( \frac{AC}{CB} \right)^2 = \frac{AD}{DB}\cdot\frac{AE}{EB}=\frac{AP}{CB}\cdot\frac{AQ}{CB},<br />$

skąd

$<br /> \frac{AP}{AC}=\frac{AC}{AQ}.<br />$

Ponieważ $\measuredangle CAP = \measuredangle QAC$ , więc z powyższej równości wynika, że trójkąty $CAP$ i $QAC$ są podobne. Zatem

$<br /> \measuredangle ACD = \measuredangle ACP = \measuredangle AQC = \measuredangle BCE .<br />$

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/434