XLIX OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XLIX OM, 1997-1998

Etap:

III

Rozważamy na płaszczyźnie kwadraty jednostkowe, których wierzchołki mają obie współrzędne całkowite. Niech $S$ będzie szachownicą, której polami są wszystkie kwadraty jednostkowe zawarte w kole określonym nierównością $x^2+y^2 \leq 1998^2$ . Na wszystkich polach szachownicy piszemy liczbę $+1$ . Wykonujemy ciąg operacji. Każda z nich polega na wybraniu dowolnego rzędu poziomego, pionowego lub ukośnego i zmianie znaków wszystkich liczb napisanych na polach wybranego rzędu. (Rząd ukośny tworzą wszystkie pola szachownicy $S$ , których środki leżą na pewnej prostej przecinającej osie układu współrzędnych pod kątem $45^\circ$ .)

Rozstrzygnąć, czy w ten sposób można doprowadzić do sytuacji, w której na jednym polu będzie napisana liczba $-1$ , a na pozostałych $+1$ .

Rozwiązanie

Odpowiedź: nie można.

Przypuśćmy, że da się uzyskać konfigurację z dokładnie jednym polem $P_1$ , na którym jest napisana liczba $-1$ . Z uwagi na standardowe symetrie szachownicy $S$ można założyć, że pole $P_1$ ma środek $(a-\frac{1}{2},b-\frac{1}{2})$ , gdzie $a \geq b \geq 1$ ( $a$ , $b$ - liczby całkowite). Punkt ( $a$ , $b$ ) jest wierzchołkiem pola $P_1$ , więc $a^2 + b^2 < 1998^2$ .

Wykażemy, że kwadrat jednostkowy $P_2$ o środku $(a-\frac{3}{2},b+\frac{1}{2})$ także jest polem szachownicy $S$ .

Jeżeli $a > b$ , to $(a-1)^2 + (b+1)^2 \leq a^2 + b^2 \leq 1998^2$ . Jeśli zaś $a = b$ , to nierówność $a^2 + b^2 = 2a^2 \leq 1998^2$ na pewno nie jest równością; stąd wynika, że

$<br /> (a - 1)^2 + (b + 1)^2 = 2a^2 + 2 \leq 1998^2.<br />$

Zatem punkt $(a-1,b+1)$ , czyli prawy górny wierzchołek kwadratu $P_2$ , należy do koła, o którym mowa w zadaniu. W konsekwencji cały kwadrat $P_2$ zawiera się w tym kole, czyli jest polem szachownicy $S$ .

Rozważmy teraz osiem kwadratów jednostkowych, z których dwa są polami $P_1$ i $P_2$ , ułożonych tak jak na rysunku obok. Ponieważ kwadraty $P_1$ i $P_2$ są polami szachownicy $S$ , więc pozostałe sześć kwadratów również.

Zauważmy, że każdy rząd pionowy, poziomy lub ukośny zawiera albo dokładnie dwa spośród ośmiu danych pól, albo nie zawiera żadnego z nich. Iloczyn liczb napisanych na tych ośmiu polach nie ulega wobec tego zmianie w wyniku wykonywanych operacji i stale jest równy $1$ . Nie jest więc możliwe, by w pewnym momencie na polu $P_1$ znalazła się liczba $-1$ , a na pozostałych $+1$ .