LX OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

LX OM, 2008-2009

Etap:

Dla każdej liczby całkowitej $n \geqslant 3$ wyznaczyć wszystkie ciągi liczb rzeczywistych
$(x_1,x_2, \cdots ,x_n)$ , dla których

$ \sum_{i=1}^n x_i = n \quad \text{ oraz } \sum_{i=1}^n (x_{i-1} -x_i + x_{i+1})^2 = n, $

gdzie przyjmujemy $x_0 = x_n$ i $x_{n+1} = x_1$ .

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że ciąg $(x_1,x_2, \cdots ,x_n)$ ma żądaną własność. Przyjmijmy

$ (1) \qquad y_i = x_{i-1} -x_i + x_{i+1} -1 \quad \text{ dla } \quad i =1,2, \cdots ,n. $

Wówczas zachodzi równość $y_1 + y_2 + \cdots +y_n = x_1 + x_2 + \cdots + x_n -n$ , a zatem
z danych w treści zadania dwóch równości wynika, że

$ y_1 +y_2 + \cdots +y_n =0 \text{ oraz }(1+ y_1)^2 +(1+y_2)^2 + \cdots +(1+y_n)^2 = n, $

skąd uzyskujemy

$ \sum_{i=1}^n y_i^2 = \sum_{i=1}^n [(1+y_i)^2 -2y_i -1]= \sum_{i=1}^n (1+y_i)^2 -2\sum_{i=1}^n y_i - \sum_{i=1}^n 1= n-0-n =0. $

Zatem $y_1 = y_2 = \cdots = y_n = 0$ , co z uwagi na wzór (1) daje

$ (2) \qquad x_i-1 -x_i + x_i+1 = 1 \text{ dla } i =1,2, \cdots ,n. $

Na odwrót, każdy ciąg $(x_1,x_2, \cdots ,x_n)$ spełniający warunek (2) spełnia także równości dane w zadaniu.
Pozostaje więc wyznaczyć wszystkie ciągi, dla których zachodzi warunek (2).

Oznaczmy $x_0 = a$ oraz $x_1 = b$ . Wówczas stosując zależność (2) w postaci
$x_{i+1} =1 -x_i-1 + x_i$ dla $i =1,2, 3,4,5,6$ otrzymujemy

$ x_2 =1 -a+b,\; x_3 =2-a,\; x_4 =2-b,\; x_5 =1+a-b,\; x_6 = a,\; x_7 = b. $

Kontynuując to postępowanie stwierdzamy, że ciąg $x_0, x_1, x_2, \cdots$ jest okresowy:
$x_{k+6} =x_k$ dla $k =0,1,2, \cdots$ . Ponieważ $x_0 = x_n$ oraz $x_1 =x_{n+1}$ , więc para
$(x_0,x_1)$ pokrywa się z parą $(x_r,x_{r+1})$ , gdzie $r$ jest resztą z dzielenia liczby $n$ przez 6.

Korzystając z wyliczonych wyżej wartości $x_0, x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ sprawdzamy bezpośrednio,
że dla dowolnej wartości $r =1,2,3,4,5$ jedynym rozwiązaniem układu równań
$x_0 = x_r, x_1 = x_{r+1}$ , czyli odpowiednio układów

$ \begin{cases} a=b\\ b=1-a+b \end{cases}, \begin{cases} a=1-a+b\\ b=2-a \end{cases}, \begin{cases} a=2-a\\ b=2-b \end{cases}, \begin{cases} a=2-b\\ b=1+a-b \end{cases}, \begin{cases} a=1+a-b\\ b=a \end{cases}, $

są liczby $a = b = 1$ . W tej sytuacji oczywiście $x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 1$ i liczby te mają
żądane w treści zadania własności.

Jeżeli natomiast $r = 0$ , a więc gdy liczba $n$ jest podzielna przez 6, to możemy wybrać dowolne
wartości rzeczywiste $x_0 = x_n$ i $x_1$ i korzystając ze wzoru (2) wyznaczyć jednoznacznie wartości
$x_2, x3, \cdots , x_{n+1}$ . Nietrudno spostrzec, że warunek (2) będzie wówczas spełniony.

Odpowiedź: Dla każdej liczby całkowitej $n \geqslant 3$ rozwiązaniem zadania jest ciąg
$(x_1,x_2, \cdots ,x_n) = (1,1, \cdots ,1)$ ; ponadto dla liczb $n$ podzielnych przez 6 istnieją rozwiązania
o okresie długości 6 następującej postaci:

$ (x_1,x_2, \cdots ,x_n)=(b,1 -a +b,2-a,2-b,1+ a-b,a,b,1-a+b, \cdots ,a). $