XLVIII OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XLVIII OM, 1996-1997

Etap:

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ wyznaczyć liczbę uporządkowanych trójek liczb rzeczywistych $(x, y, z)$ spełniających układ równań

$ \left\{\begin{array}{l} x + y^2 + z^2 = a\\ x^2 + y + z^2 = a\\ x^2 + y^2 + z = a \end{array} \right. $

Rozwiązanie

Podstawienie: $x=u+\frac{1}{2}$ , $y=v+\frac{1}{2}$ , $z=w+\frac{1}{2}$ sprowadza dany układ równań do postaci:

$ (*) \qquad \left\{ \begin{split} v^2 + w^2 + u + v + w + 1 = a\\ w^2 + u^2 + u + v + w + 1 = a\\ u^2 + v^2 + u + v + w + 1 = a\\ \end{split} \right. $

skąd przez odejmowanie stronami: $u^2 = v^2 = w^2$ . Zatem każde rozwiązanie $(u, v, w)$ układu (*) ma dokładnie jedną z następujących postaci:

$ (1) \qquad (t,t,t);\qquad t\in \mathbb{R}; $

$ (2) \qquad (-t,t,t) \quad \textrm{lub}\quad (t,-t,t)\quad \textrm{lub}\quad (t,t,-t); \qquad t\in \mathbb{R}, t \neq 0. $

Dla $u = v = w = t$ układ (*) sprowadza się do równania

$ (1') \qquad 2t^2 + 3t + (1-a) = 0; $

gdy zaś dwie z liczb $u$ , $v$ , $w$ są równe $t$ , trzecia $-t$ ( $t \neq 0$ ), układ (*) sprowadza się do równania

$ (2')\qquad 2t^2 + t + (1 - a) = 0. $

Liczba rozwiązań $(u,v,w)$ układu (*) mających postać (1) jest równa liczbie pierwiastków równania (1'); oznaczmy ją przez $N_1$ . Liczba rozwiązań $(u,v,w)$ postaci (2) jest równa $3N_2$ gdzie $N_2$ oznacza liczbę pierwiastków równania (2') różnych od zera. Obliczamy wyróżniki trójmianów (1') i (2'): $\Delta_1 = 8a + 1$ , $\Delta_2 = 8a - 7$ . Zatem:

$ N_1=\left\{\begin{array}{lll} 0&\textrm{gdy}&a<-1/8,\\ 1&\textrm{gdy}&a=-1/8,\\ 2&\textrm{gdy}&a>-1/8, \end{array} \right.\ N_2=\left\{\begin{array}{lll} 0&\textrm{gdy}&a<7/8,\\ 1&\textrm{gdy}&a=7/8\ \textrm{lub}\ a=1,\\ 2&\textrm{gdy}&a>7/8,\ a\neq 1. \end{array} \right. $

Liczba rozwiązań układu (*) jest więc równa:

$ N=N_1+3N_2=\left\{\begin{array}{lll} 0&\textrm{gdy}&a<-1/8,\\ 1&\textrm{gdy}&a=-1/8,\\ 2&\textrm{gdy}&-1/8<a<7/8,\\ 5&\textrm{gdy}&a=7/8\ \textrm{lub}\ a=1,\\ 8&\textrm{gdy}&a>7/8\ \textrm{lub}\ a\neq 1. \end{array} \right. $