XLVIII OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XLVIII OM, 1996-1997

Etap:

Punkt $P$ leży wewnątrz trójkąta $ABC$ i spełnia warunki:

$ \measuredangle PBA = \measuredangle PCA = \frac{1}{3}(\measuredangle ABC + \measuredangle ACB). $

Udowodnić, że

$ \frac{AC}{AB+PC}=\frac{AB}{AC+PB}. $

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $K$ punkt przecięcia prostych $BP$ i $AC$ , zaś przez $L$ punkt przecięcia prostych $CP$ i $AB$ . Na mocy warunków zadania mamy:

$ \begin{split} \measuredangle KPC &= \measuredangle PBC + \measuredangle PCB = \measuredangle ABC - \measuredangle ABP + \measuredangle ACB - \measuredangle ACP =\\ &= \measuredangle ABC + \measuredangle ACB - 2 \cdot \frac{1}{3}(\measuredangle ABC + \measuredangle ACB) = \\ &= \frac{1}{3}(\measuredangle ABC + \measuredangle ACB) = \measuredangle PCK, \end{split} $