XLVIII OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XLVIII OM, 1996-1997

Etap:

Wyznaczyć wszystkie trójki liczb całkowitych dodatnich mających następującą własność: iloczyn dowolnych dwóch z nich daje resztę $1$ przy dzieleniu przez trzecią liczbę.

Rozwiązanie

Niech $a$ , $b$ , $c$ będą liczbami, jakich szukamy. Z podanych warunków wynika, że są to liczby większe od $1$ , parami względnie pierwsze. Liczba $bc+ca+ab- 1$ dzieli się przez $a$ , przez $b$ i przez $c$ , dzieli się więc także przez iloczyn $abc$ :

$<br /> (1) \qquad bc +ca +ab = kabc+1 \ (\textrm{$k$ - liczba całkowita}).<br />$

Po podzieleniu stronami przez $abc$ :

$<br /> (2) \qquad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = k+\frac{1}{abc}.<br />$

Suma po lewej stronie równości (1) jest większa od $1$ , więc $k > 0$ . Suma po lewej stronie (2) jest mniejsza od $2$ , więc $k < 2$ . Zatem $k = 1$ . Prawa strona (2) jest większa od $1$ , więc największa z liczb $1/a$ , $1/b$ , $1/c$ przekracza $1/3$ . Przyjmując, że $a > b > c$ wnosimy stąd, że $c = 2$ . Równość (1) przybiera postać $2a + 2b + ab = 2ab + 1$ , czyli $(a - 2)(b - 2) = 3$ . Stąd $a = 5$ , $b = 3$ , $c = 2$ . Te liczby spełniają warunki zadania i są (z dokładnością do permutacji) jego jedynym rozwiązaniem.