XLVIII OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XLVIII OM, 1996-1997

Etap:

Rzucamy $k$ kostkami sześciennymi białymi i $m$ czarnymi. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że reszta z dzielenia przez $7$ łącznej liczby oczek wyrzuconych na kostkach białych jest równa reszcie z dzielenia przez $7$ łącznej liczby oczek wyrzuconych na kostkach czarnych.

Rozwiązanie

Zbiorem zdarzeń elementarnych w tym zadaniu jest

$ \Omega=\{(b_1,\ldots,b_k,c_1,\ldots,c_m) : b_1,\ldots,b_k,c_1,\ldots,c_m \in \{1,2,\ldots,6\}\}, $

gdzie wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. Niech $A$ oznacza zdarzenie, którego prawdopodobieństwa szukamy:

$ A = \{(b_1,\ldots,b_k,c_1,\ldots,c_m) \in \Omega : 7|(b_1+\ldots+b_k-c_1-\ldots-c_m)\}. $

Niech zaś $B$ będzie zdarzeniem, że łączna liczba wyrzuconych oczek na wszystkich $k + m$ kostkach jest podzielna przez $7$ :

$ B = \{(b_1,\ldots,b_k,c_1,\ldots,c_m) \in \Omega : 7|(b_1+\ldots+b_k+c_1+\ldots+c_m)\}. $

Przekształcenie dane wzorem

$ (b_1,\ldots,b_k,c_1,\ldots,c_m)\mapsto (b_1,\ldots,b_k,7-c_1,\ldots,7-c_m) $

jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym zbioru $A$ na zbiór $B$ . Zbiory $A$ i $B$ są więc równoliczne, a zatem prawdopodobieństwa zdarzeń $A$ i $B$ są jednakowe.

Oznaczmy przez $p_{n,r}$ ( $n \geq 1$ , $r = 0,1,\ldots, 6$ ) prawdopodobieństwo tego, że przy rzucie $n$ kostkami reszta przy dzieleniu przez $7$ łącznej liczby wyrzuconych oczek jest równa $r$ . Wówczas $p_{1,0} = 0$ , $p_{1,1} = p_{1,2} = \ldots = p_{1,6} = 1/6$ .