XLVIII OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XLVIII OM, 1996-1997

Etap:

W sześcianie o krawędzi długości $1$ leży osiem punktów. Wykazać, że pewne dwa z nich są końcami odcinka o długości nie większej niż $1$ .

Rozwiązanie

Oznaczmy wierzchołki danego sześcianu $\mathcal{C}$ przez $A_1,\ldots, A_8$ . Oznaczmy przez $\mathcal{C}_i$ sześcian o krawędzi długości $\frac{1}{2}$ , mający jeden wierzchołek w punkcie $A_i$ oraz trzy ściany zawarte w ścianach sześcianu $\mathcal{C}$ . Niech $P_1,\ldots,P_8$ będą ośmioma danymi punktami.

Każdy sześcian $\mathcal{C}_i$ ma średnicę $\frac{1}{2}\sqrt{3} < 1$ . Jeśli więc pewne dwa różne punkty $P_k$ , $P_l$ leżą w którymś z sześcianów $\mathcal{C}_i$ , to $P_kP_l < 1$ ; wymagany warunek jest spełniony.

Załóżmy zatem, że każdy z tych sześcianów zawiera dokładnie jeden punkt $P_i$ . Ustalmy numerację tak, by $P_i \in \mathcal{C}_i$ dla $i = 1,\ldots, 8$ . Sześcian $\mathcal{C}_i$ ma dokładnie trzy ściany wspólne z powierzchnią sześcianu $\mathcal{C}$ ; punkt $P_i$ , jest odległy od każdej z tych trzech ścian o nie więcej niż $1/2$ . Oznaczmy te trzy odległości przez $a_i$ , $b_i$ , $c_i$ . Niech $d$ będzie największą spośród $24$ liczb: $a_1,b_1,c_1,\ldots,a_8,b_8,c_8$ . Bez straty ogólności możemy przyjąć, że $d = P_1Q$ , gdzie $Q$ jest rzutem prostokątnym punktu $P_1$ na pewną ścianę sześcianu $\mathcal{C}$ , oraz że $A_1A_2$ jest krawędzią sześcianu $\mathcal{C}$ równoległą do prostej $P_1Q$ .

Niech $R$ będzie rzutem prostokątnym punktu $P$ na prostą $A_1A_2$ . Weźmy pod uwagę prostopadłościan, którego jedną krawędzią jest odcinek $A_2R$ , a jedną ze ścian prostopadłych do $A_2R$ jest kwadrat o wierzchołku $A_2$ i boku długości $d$ , zawarty w ścianie sześcianu $\mathcal{C}$ . Z określenia liczby $d$ wynika, że ów prostopadłościan zawiera punkty $P_1$ i $P_2$ . Jego średnica jest równa

$<br /> \sqrt{d^2 + d^2 + (1 - d)^2} = \sqrt{d(3d - 2) + 1} \leq 1,<br />$

gdyż $0 \leq d \leq \frac{1}{2} < \frac{2}{3}$ . Zatem $P_1P_2 \leq 1$ , co kończy dowód.