XLVIII OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LVIII OM, 2006-2007

Etap:

III

Liczby całkowite dodatnie $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ , $x_4$ , $x_5$ , $x_6$ , $x_7$ spełniają warunki:

$<br /> x_6 = 144\ \textrm{oraz}\ x_{n+3} = x_{n+2}(x_{n+1} + x_n) \ \textrm{dla} \ n = 1, 2, 3,4.<br />$

Wyznaczyć $x_7$ .

Rozwiązanie

Oznaczmy: $a = x_1+x_2$ , $b = x_3$ , $c = x_2+x_3$ . Wówczas $x_2 = c - b$ , $x_1 = a-x_2=a+b-c$ . Są to z założenia liczby dodatnie. Tak więc

$<br /> (1)\qquad 0<b<c<a + b.<br />$

Dalej, $x_4 = ab, x_5 = abc, x_6 = abc(ab + b) = a(a + 1)b^2c$ . Z nierówności (1) wynika, że $a > 1$ . Jedynymi dzielnikami liczby $144$ mającymi postać $a(a + 1)$ (gdzie $a > 1$ ) są liczby $6$ , $12$ , $72$ , odpowiadające wartościom $a = 2$ , $a = 3$ , $a = 8$ . Iloczyn $b^2c$ powinien mieć - odpowiednio - wartość: $24$ , $12$ , $2$ . Pierwsza możliwość prowadzi do sprzeczności z warunkiem (1). Druga i trzecia możliwość daje (w połączeniu z warunkiem (1)) rozwiązania $(a,b,c) = (3,2,3)$ oraz $(a,b,c) = (8,1,2)$ . W każdym przypadku $x_7 = x_6(x_5 + x_4) = 144ab(c+1) = 144\cdot 24 = 3456$ .