XLVIII OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XLVIII OM, 1996-1997

Etap:

III

Znaleźć wszystkie trójki liczb rzeczywistych $x$ , $y$ , $z$ spełniające układ równań

$ \left\{ \begin{array}{c} 3(x^2+y^2+z^2)=1\\ x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = xyz(x + y + z)^3. \end{array}\right. $

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby $x$ , $y$ , $z$ spełniają dany układ; z drugiego równania wynika, że

$ (1)\qquad xyz(x + y + z) \geq 0. $

Dalej mamy

$ (2)\qquad 0 \leq (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 3(x^2 + y^2 + z^2) - (x + y + z)^2, $

co na mocy pierwszego równania układu daje:

$ (3)\qquad (x + y + z)^2 \leq 1. $

Zachodzi też nierówność

$ \begin{split} 0 &\leq (xy - yz)^2 + (yz - zx)^2 + (zx - xy)^2 =\\ &= 2(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) - 2xyz(x + y + z), \end{split} $

czyli

$ (4)\qquad xyz(x + y + z) \leq x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2. $

Dzięki własności (1) możemy pomnożyć nierówności (3) i (4) stronami:

$ (5)\qquad xyz(x + y + z)^3 \leq x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2. $

Zgodnie z drugim równaniem układu, nierówność (5) ma być równością. To znaczy, że albo obie mnożone nierówności (3) i (4) są równościami, albo wyrażenia po obu stronach (4) są równe zeru. W pierwszym przypadku znak równości w związkach (2) i (3) prowadzi do wniosku, że $x = y = z = \pm 1/3$ . W drugim przypadku iloczyny $zy$ , $yz$ , $zx$ są równe zeru, czyli pewne dwie spośród liczb $z$ , $y$ , $z$ są równe zeru; trzecia musi być równa $\pm 1/\sqrt{3}$ , zgodnie z pierwszym równaniem układu. Daje to osiem trójek $(x, y, z)$ spełniających dany układ równań:

$ (\varepsilon \cdot \frac{1}{3},\varepsilon \cdot \frac{1}{3},\varepsilon \cdot \frac{1}{3}), \quad (\varepsilon \cdot \frac{1}{\sqrt{3}},0,0), \quad (0,\varepsilon \cdot \frac{1}{\sqrt{3}},0), \quad (0,0,\varepsilon \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}), $

gdzie $\varepsilon = \pm 1$ .