XLVIII OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XLVIII OM, 1996-1997

Etap:

III

Środkowe ścian bocznych $ABD$ , $ACD$ , $BCD$ ostrosłupa $ABCD$ poprowadzone z wierzchołka $D$ tworzą równe kąty z krawędziami, do których zostały poprowadzone. Wykazać, że pole każdej ściany bocznej jest mniejsze od sumy pól pozostałych dwóch ścian bocznych.

Rozwiązanie

Udowodnimy nierówność

$ (1)\qquad \mathrm{pole} (ABD) < \mathrm{pole} (BCD) + \mathrm{pole} (CAD) $

(pozostałe dwie nierówności dostaniemy analogicznie). Oznaczmy przez $K$ , $L$ , $M$ odpowiednio środki krawędzi $BC$ , $CA$ , $AB$ . Odcinki $DK$ , $DL$ , $DM$ tworzą równe kąty odpowiednio z krawędziami $BC$ , $CA$ , $AB$ ; oznaczmy ten wspólny kąt przez $\alpha$ . Niech $DH$ będzie wysokością trójkąta $ABD$ . Mamy:

$ (2)\qquad \mathrm{pole} (ABD) = \frac{1}{2} AB \cdot DH = \frac{1}{2} AB \cdot DM \cdot \sin \alpha = KL \cdot DM \cdot \sin \alpha. $

Analogicznie:

$ (3) \qquad \mathrm{pole} (BCD) = LM \cdot DK \cdot \sin \alpha \quad \textrm{oraz}\quad \mathrm{pole} (CAD) = MK \cdot DL \cdot \sin \alpha. $

Ponieważ $\sin\alpha \neq 0$ , więc wykorzystując równości (2) i (3) możemy zapisać nierówność (1) w następującej równoważnej postaci:

$ (4) \qquad KL \cdot DM < LM \cdot DK + MK \cdot DL. $

Rozważmy czworościan $KLMD$ . Niech $N$ będzie takim punktem płaszczyzny $KLM$ , że $KN = KD$ , $LN = LD$ oraz punkty $M$ i $N$ leżą po przeciwnych stronach prostej $KL$ . Oznaczmy przez $P$ punkt przecięcia prostej $KL$ z odcinkiem $MN$ . Ponieważ trójkąty $KLD$ i $KLN$ są przystające, więc $DP = NP$ . Dla czworokąta $MKNL$ zachodzi nierówność Ptolemeusza:

$ KL \cdot NM \leq LM \cdot NK + MK \cdot NL. $

Stąd otrzymujemy

$ \begin{split} KL \cdot DM &< KL \cdot (DP + PM) = KL \cdot (NP + PM) = KL \cdot NM \leq\\ &\leq LM \cdot NK + MK \cdot NL = LM \cdot DK + MK \cdot DL, \end{split} $

czyli nierówność (4), która jest równoważna nierówności (1).