XLIX OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XLIX OM, 1997-1998

Etap:

Rozwiązać układ równań

$ \left\{\begin{split} &|x-y|-\frac{|x|}{x}=-1\\ &|2x-y|+|x+y-1|+|x-y|+y-1=0. \end{split}\right. $

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby $x$ , $y$ spełniają podany układ równań. Z pierwszego równania wynika, że $x \neq 0$ oraz że iloraz $|x|: x$ nie może być równy $-1$ ; jest więc równy $1$ , co oznacza, że $x$ jest liczbą dodatnią. Pierwsze równanie mówi zatem, że $|x - y| =0$ . Liczby $x$ i $y$ są więc równe.

Podstawiając $y = x$ do drugiego równania (i pamiętając, że $x > 0$ ) otrzymujemy zależność $2x- 1 + |2x-1| = 0$ , równoważną temu, że $2x-1\leq 0$ . Tak więc każda para $(x,y)$ , będąca rozwiązaniem danego układu równań, spełnia warunki: $0 < x = y \leq \frac{1}{2}$ .

I na odwrót: każda para $(x,y)$ takiej postaci spełnia oba równania układu; sprawdzenie jest natychmiastowe.