XLIX OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XLIX OM, 1997-1998

Etap:

Ciągi $(a_n)$ , $(b_n)$ , $(c_n)$ są określone przez warunki:

$ a_1=4, \quad a_{n+1} = a_n(a_n-1), \quad 2^{b_n}=a_n, \quad 2^{n-c_n}=b_n $

dla $n = 1,2,3,\ldots$ . Wykazać, że ciąg $(c_n)$ jest ograniczony.

Rozwiązanie

Udowodnimy przez indukcję, że

$ \qquad (1) 2^{2^{n-1}}<a_n\leq 2^{2^n}. $

Dla $n = 1$ nierówności $2^1 <a_1 \leq 2^2$ są spełnione. Zakładając, że nierówności (1) zachodzą dla pewnej liczby naturalnej $n$ , otrzymujemy dla $n+1$ analogiczne oszacowania:

$ a_{n+1} = a_n(a_n - 1) < a_n^2 \leq (2^{2^n})^2 = 2^{2^{n+1}} $

oraz - korzystając z faktu, że $a_n$ jest liczbą całkowitą, więc lewa nierówność (1) daje się wzmocnić do postaci $a_n \geq 2^{2^{n-1}} + 1$ :

$ a_{n+1} = a_n(a_n-1) \geq (2^{2^{n-1}}+1) \cdot 2^{2^{n-1}} = 2^{2^n} +2^{2^{n-1}}> 2^{2^n}. $

Na podstawie zasady indukcji wnosimy o prawdziwości związków (1) dla wszystkich liczb naturalnych $n \geq 1$ .

Zastępując w (1) $a_n$ przez $2^{b_n}$ dostajemy nierówność $2^{n-1} < b_n \leq 2^n$ ; zastępując z kolei $b_n$ przez $2^{n-c_n}$ stwierdzamy, że $n-1<n-c_n\leq n$ ; a to znaczy, że $0 \leq c_n < 1$ . Ciąg $(c_n)$ jest więc ograniczony.