XLIX OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XLIX OM, 1997-1998

Etap:

Dana jest liczba dodatnia $a$ . Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $c$ mające następującą własność: dla każdej pary liczb dodatnich $x$ , $y$ spełniona jest nierówność $(c-1)x^{a+1} \leq (cy - x)y^a$ .

Rozwiązanie

Sposób I

Załóżmy, że pewna liczba rzeczywista $c$ ma rozważaną własność:

$ (1) \quad cy^{a+1}-xy^a \geq (c-1)x^{a+1} \ \textrm{dla}\ x,y > 0. $

Podstawiając $y=tx$ i dzieląc stronami przez $x^{a+1}$ otrzymujemy zależność

$ \qquad (2) ct^{a+1}-t^a \geq c-1 \ \textrm{dla}\ t>0. $

Zauważmy, że i na odwrót: z warunku (2) wynika (1). Przypuśćmy bowiem, że $c$ jest liczbą rzeczywistą spełniającą warunek (2). Niech $x$ , $y$ będą dowolnymi liczbami dodatnimi. W nierówności (2) podstawiamy $t = y/x$ , mnożymy stronami przez $x^{a+1}$ i dostajemy nierówność (1).

A zatem warunki (1) i (2) są równoważne. Ustalmy liczbę rzeczywistą $c$ i weźmy pod uwagę funkcję $f:(0,\ \infty)\to \mathbb{R}$ daną wzorem

$ f(t)=ct^{a+1}-t^a \ \textrm{dla}\ t>0; $

oczywiście $f(1) = c - 1$ oraz

$ f'(t) = c(a + 1)t^a-at^{a-1}. $

Jeżeli warunek (2) (równoważny warunkowi (1)) jest dla rozważanej liczby $c$ spełniony, to funkcja $f$ ma w punkcie $t = 1$ minimum, a więc $f'(1) = 0$ , czyli $c(a+1)-a= 0$ ; stąd $c=\frac{a}{a+1}$ .

Na odwrót, jeśli w określeniu funkcji $f$ przyjmiemy $c= \frac{a}{a+1}$ , to

$ f'(t)=at^a-at^{a-1}=at^{a-1}(t-1) \left\{ \begin{array}{ll} <0,&\textrm{gdy}\ 0<t<1,\\ >0,&\textrm{gdy}\ t>1, \end{array} \right. $

wobec tego funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $(0;\ 1 \rangle$ i rosnąca w przedziale $\langle 1;\ \infty)$ . W punkcie $t = 1$ przyjmuje więc swoją najmniejszą wartość. Innymi słowy, $f(t)\geq f(1)$ dla $t>0$ , czyli spełniony jest warunek (2) (równoważny warunkowi (1)).

Wniosek: dla danej liczby dodatniej $a$ jedyną liczbą $c$ mającą postulowaną własność jest $c=\frac{a}{a+1}$ .

Sposób II

Zadanie można rozwiązać nie korzystając z metod rachunku różniczkowego. Jak poprzednio, wykazujemy równoważność warunków (1) i (2), a następnie przepisujemy warunek (2) w kolejnej równoważnej postaci:

$ \qquad (3) t^a-1 \leq c(t^{a+1}-1) \ \textrm{dla} \ t>0. $

Rozpatrzymy najpierw przypadek, gdy $a$ jest liczbą wymierną. Niech więc $a = m/n$ , gdzie $m$ , $n$ są liczbami całkowitymi dodatnimi; oznaczmy $m + n = q$ .

Załóżmy, że $c$ jest liczbą, dla której warunek (3) jest spełniony. Podstawiamy $t = s^n$ i otrzymujemy zależność $s^m - 1 \leq c(s^q -1)$ dla $s > 0$ , skąd

$ \frac{s^m-1}{s^q-1} \left\{ \begin{array}{ll} \geq c, &\textrm{gdy}\ 0<s<1,\\ \leq c, &\textrm{gdy}\ s>1. \end{array} \right. $

Oznaczmy iloraz po lewej stronie (4) przez $g(s)$ . Przekształcamy ten iloraz:

$ g(s) = \frac{(s-1)(s^{m-1}+\ldots + s + 1)}{(s-1)(s^{q-1}+\ldots + s + 1)} = \frac{s^{m-1}+\ldots + s + 1}{s^{q-1}+\ldots + s + 1}. $

W liczniku mamy sumę $m$ składników; w mianowniku - sumę $q$ składników. Stąd $\limd_{s\to 1} g(s) = m/q$ . Zatem jedyną liczbą $c$ , która może spełniać warunek (4) - a więc i warunek (3) - jest $c = m/q$ .

Pokażemy, że i na odwrót: jeżeli (dla danej liczby wymiernej $a = m/n$ ) przyjmiemy za $c$ liczbę $m/q$ (gdzie $q = m+n$ ), to warunek (3) będzie spełniony. Ponownie podstawiamy $t = s^n$ . Dowodzony warunek (3) przybiera postać

$ \frac{s^m-1}{m} \leq \frac{s^q-1}{q} \ \textrm{dla}\ s>0. $

Weźmy pod uwagę ciąg $w_1, w_2, w_3, \ldots$ o wyrazach $w_j= \frac{s^j-1}{j}$ . Należy dowieść, że $w_m\leq w_q$ ; a ponieważ $q = m+n > m$ , wystarczy w tym celu wykazać, że ciąg ten jest niemalejący. To zaś wynika z przekształcenia

$ \begin{split} w_{j+1}-w_j&=\frac{s^{j+1}-1}{j+1}-\frac{s^{j}-1}{j}=\frac{js^j(s-1)-(s^j-1)}{j(j+1)}=\\ &=\frac{(s-1)\big[(s^j-s^{j-1})+(s^j-s^{j-2})+\ldots+(s^j-s)+(s^j-1)\big]}{j(j+1)} \geq 0, \end{split} $

bowiem suma w nawiasie kwadratowym jest liczbą tego samego znaku, co różnica $(s - 1)$ .

Udowodniliśmy, że dla danej dodatniej liczby wymiernej $a=\frac{m}{n}$ jedynie liczba $c=\frac{m}{q}=\frac{m}{m+n}=\frac{a}{a+1}$ ma rozważaną własność.

Przechodzimy do przypadku ogólnego, gdy $a$ jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Weźmy dowolny ciąg $a_1,a_2,a_3,\ldots$ dodatnich liczb wymiernych zbieżny do $a$ . Oznaczmy $c_i = \frac{a_i}{a_i+1}$ . Na podstawie rozpatrzonego już przypadku wiemy, że dla liczb $a_i$ oraz $c_i$ zachodzi nierówność analogiczna do (3):

$ \qquad (5) t^{a_i}-1 \leq c_i(t^{a_i+1}-1) \textrm{ dla } t>0,\ i=1,2,3,\ldots. $

Przy $i$ dążącym do nieskończoności ciąg $(c_i)$ dąży do $\frac{a}{a+1}$ . Przechodzimy w nierówności (5) do granicy (przy ustalonym $t$ , przy czym $t$ może być dowolną liczbą dodatnią) i otrzymujemy nierówność

$ \qquad (6) t^{a}-1 \leq \frac{a}{a+1}(t^{a+1}-1) \textrm{ dla } t>0. $

To znaczy, że liczba $c = \frac{a}{a+1}$ ma badaną własność.

Pozostała do udowodnienia implikacja odwrotna: załóżmy, że dla zadanej liczby $a>0$ i dla pewnej liczby rzeczywistej $c$ jest spełniony warunek (3); chcemy wykazać, że $c = \frac{a}{a+1}$ .

Zastępując w (3) liczbę $t$ przez $1/t$ dostajemy warunek równoważny

$ \frac{1}{t^a}-1\leq c \left(\frac{1}{t^{a+1}} - 1\right) \textrm{ dla } t>0; $

a po pomnożeniu stronami przez $(-t^a)$ :

$ t^a-1 \geq \frac{c}{t}(t^{a+1}-1) \textrm{ dla } t>0. $

Stąd oraz z nierówności (6) mamy $\frac{c}{t} (t^{a+1} -1) \leq \frac{a}{a+1} (t^{a+1} -1)$ , czyli

$ \left( \frac{a}{a+1} - \frac{c}{t}\right) (t^{a+1} -1)\geq 0 \textrm{ dla } t>0. $

Dla liczb $t\neq 1$ otrzymujemy zależność

$ \frac{a}{a+1} - \frac{c}{t} \left\{ \begin{array}{lll} \leq 0,& \textrm{gdy}& 0<t<1,\\ \geq 0,& \textrm{gdy}& t>1. \end{array} \right. $

Gdy $t$ dąży do $1$ , różnica po lewej stronie (7) dąży do granicy $\frac{a}{a+1}-c$ . Z oszacowań (7) wynika, że ta wartość graniczna może być równa tylko zeru. Tak więc $c = \frac{a}{a+1}$ .

Konkluzja jak poprzednio: liczba $c = \frac{a}{a+1}$ jest jedyną liczbą $c$ o wymaganej własności.

Uwaga: Udało się rozwiązać zadanie bez użycia pojęcia pochodnej ale nie bez pojęcia {\it granicy} (ciągu, funkcji). I trudno, żeby było inaczej, bowiem przejście graniczne jest obecne w samej definicji potęg o wykładniku rzeczywistym; stanowi wręcz istotę tej definicji.