XLIX OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XLIX OM, 1997-1998

Etap:

Dana jest, liczba całkowita $n \geq 1$ . Rozwiązać równanie

$ |\tan^n{x}-\cot^n{x}| = 2n|\cot 2x|. $

Rozwiązanie

Ponieważ $2\cot 2x=2 \cdot \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x}=\cot x - \tan x$ , dane równanie jest równoważne następującemu:

$ (1) \quad |\tan^n x - \cot^n x|=n|\tan x - \cot x|. $

Gdy $n = 1$ , równanie (1) jest spełnione tożsamościowo w zbiorze liczb, które nie są całkowitymi wielokrotnościami liczby $\pi/2$ .

Dalej rozważamy przypadek, gdy $n \geq 2$ . Równanie (1) jest oczywiście spełnione, gdy $\tan x = \cot x$ , czyli dla liczb postaci

$ (2) \quad x=\frac{m\pi}{4}; m \textrm{ - liczba całkowita nieparzysta.} $

Wykażemy, że dla $n \geq 2$ równanie (1) nie ma innych rozwiązań.

Niech więc $x$ będzie dowolną liczbą spełniającą równanie (1); przyjmijmy $a=\tan x$ i przepiszmy równanie (1) w postaci

$ (3) \quad \left| a^n-\frac{1}{a^n}\right|=n\left|a-\frac{1}{a} \right|. $

Jeżeli liczba rzeczywista $a=a_0$ spełnia to ostatnie równanie, to liczby $1/a_0$ , $-1/a_0$ oraz $-a_0$ także je spełniają. Zatem jeśli wykażemy, że równanie (3) nie jest spełnione przez żadną liczbę rzeczywistą $a \in (1; \infty)$ , będzie to znaczyło, że nie ma ono rozwiązań w żadnym z przedziałów $(0;\ 1)$ , $(-1;\ 0)$ , $(-\infty;\ -1)$ , czyli że jedynymi jego rozwiązaniami są liczby $1$ i $-1$ . A ponieważ wartości $\tan x = \pm 1$ odpowiadają wartościom $x$ danym wzorem (2), tym samym udowodnimy, że wzór (2) przedstawia pełne rozwiązanie równania (1).

Pozostaje zająć się równaniem (3) dla $a \geq 1$ . Przy takim warunku różnice ujęte w znaki wartości bezwzględnej (po lewej i po prawej stronie (3)) są nieujemne i równanie sprowadza się do postaci

$ (4) \quad a^n- \frac{1}{a^n}=n \left( a - \frac{1}{a} \right). $

Rozumowania są cały czas prowadzone pod założeniem, że $n$ jest ustaloną liczbą naturalną większą od $1$ . Wykażemy kilkoma sposobami, że przy takim założeniu równanie (4) nie ma rozwiązań $a > 1$ .

Sposób I

Przypuśćmy, że pewna liczba $a>1$ spełnia równanie (4) i oznaczmy liczbę $1/a$ przez $b$ ; oczywiście $a>b$ . Przepisujemy równanie (4) jako $a^n - b^n =n(a - b)$ , dzielimy stronami przez $(a-b)$ i dostajemy związek

$ a^{n-1}+a^{n-2}b+ \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1}=n. $

Podstawiając z powrotem $b = a^{-1}$ otrzymujemy zależność

$ (5) \quad a^{n-1} + a^{n-3} + \ldots + a^{-n+3} + a^{-n+1} = n. $

Dla każdej liczby dodatniej $t \neq 1$ prawdziwa jest nierówność $t + t^{-1} > 2$ (równoważna, po prostym przekształceniu, nierówności $(t-1)^2>0$ ). Zatem dla każdej liczby całkowitej $k$ mamy

$ a^k+a^{-k} \left\{ \begin{array}{ccc} >2 & \ \textrm{gdy} \ & k \neq 0,\\ =2 & \ \textrm{gdy} \ & k = 0. \end{array} \right. $

Podstawiamy za $k$ kolejno liczby $n-1, n-3, \ldots, -n+3, -n+1$ i dodajemy stronami otrzymane $n$ nierówności. Zauważmy, że co najmniej jedna z nich jest nierównością ostrą (bo $n \geq 2$ ). W wyniku sumowania otrzymujemy po lewej stronie liczbę $2(a^{n-1} + a^{n-3} + \ldots + a^{-n+3} + a^{-n+1})$ ; po prawej stronie dostajemy wartość $2n$ . To pokazuje, że równość (5) nie jest w rozważanym przypadku możliwa.

Jak stwierdziliśmy wcześniej, wynika stąd wniosek, że dla $n \geq 2$ pełne rozwiązanie równania (1) dane jest wzorem (2).

Sposób II

Sprowadziwszy zagadnienie do równania (5) można szybko uzyskać sprzeczność z założeniem $a > 1$ zauważając, że średnia geometryczna liczb $a^{n-1}, a^{n-3}, \ldots, a^{-n+3}, a^{-n+1}$ jest równa $1$ . Równość (5) mówi zaś, ze średnia arytmetyczna tych liczb także jest równa $1$ .

Oczywiście jeśli $a>1$ , $n \geq 2$ , to ,,uśredniane'' liczby nie są równe, a więc ich średnia arytmetyczna musi być większa od średniej geometrycznej i mamy sprzeczność, o którą chodziło.

Sposób III

Rozważamy funkcję $f: \langle 1;\ \infty) \to \mathbb{R}$ określoną wzorem

$ f(u) = u^{2n}-nu^{n+1}+nu^{n-1}-1. $

Obliczamy jej pochodną: $f'(u) = 2nu^{2n-1} -n(n + 1)u^n+ n(n -1)u^{n-2}$ , czyli $f'(u)=nu^{n-2}g(u)$ , gdzie

$ g(u)=2u^{n+1}-(n + 1)u^2 + (n-1). $

Pochodna funkcji $g$ jest dodatnia dla $u>1$ :

$ g'(u) = 2(n+1)u^n-2(n + 1)u = 2(n + 1)u(u^{n-1} - 1) > 0 $

(nadal rozważamy przypadek, gdy $n \geq 2$ ). Zatem funkcja $g$ jest w przedziale $\langle 1;\ \infty)$ rosnąca; a ponieważ $g(1) =0$ , dostajemy nierówność $g(u) > 0$ dla $u > 1$ . Stąd $f'(u)>0$ dla $u>1$ . To znaczy, że i $f$ jest funkcją rosnącą w przedziale $\langle 1;\ \infty)$ . Wobec równości $f(1)=0$ , wartości $f(u)$ są dodatnie dla $u>1$ . Dzielimy nierówność $f(u) >0$ stronami przez $u^n$ i otrzymujemy: