XLIX OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

XLIX OM, 1997-1998

Etap:

Rozstrzygnąć, czy istnieje wielościan wypukły mający $k$ krawędzi oraz płaszczyzna nie przechodząca przez żaden z jego wierzchołków i przecinająca $r$ krawędzi, przy czym $3r > 2k$ .

Rozwiązanie

Niech $W$ będzie dowolnym wielościanem wypukłym; niech $k$ będzie liczbą jego krawędzi, a $s$ -- liczbą ścian. Brzeg każdej ściany zawiera co najmniej trzy krawędzie, a każda krawędź jest wspólnym bokiem dokładnie dwóch ścian. Zatem $2k\geq 3s$ .

Jeśli płaszczyzna nie przechodząca przez żaden wierzchołek przecina $r$ krawędzi, to przekrój wielościanu tą płaszczyzną jest wielokątem wypukłym mającym $r$ wierzchołków, a więc także $r$ boków. Każdy jego bok jest zawarty w pewnej ścianie wielościanu $W$ , i to każdy w innej. Wobec tego $s \geq r$ .

Zestawiając uzyskane nierówności widzimy, że $2k \geq 3r$ . Nie istnieje więc wielościan, dla którego spełniona byłaby nierówność $3r > 2k$ .