XLIX OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XLIX OM, 1997-1998

Etap:

Środkowe $AD$ , $BE$ , $CF$ trójkąta $ABC$ przecinają się w punkcie $G$ . Na czworokątach $AFGE$ i $BDGF$ można opisać okręgi. Wykazać, że trójkąt $ABC$ jest równoboczny.

Rozwiązanie

Oznaczmy miary kątów $CAB$ , $ABC$ , $BCA$ odpowiednio przez $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ . Punkty $F$ i $D$ są środkami boków $AB$ i $BC$ , więc $DF \parallel CA$ , i wobec tego $|\measuredangle BDF|= \gamma$ (rysunek 5).

Przeciwległe kąty czworokąta $AFGE$ , wpisanego w okrąg, dopełniają się do $180^\circ$ . Natomiast z istnienia okręgu opisanego na czworokącie $BDGF$ wynika równość kątów $BDF$ i $BGF$ (wpisanych w ów okrąg). Zatem