XLIX OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XLIX OM, 1997-1998

Etap:

Niech $g(k)$ będzie największym dzielnikiem pierwszym liczby całkowitej $k$ , gdy $|k|\geq 2$ , oraz przyjmijmy $g(-1) = g(0) =g(1) = 1$ . Rozstrzygnąć, czy istnieje wielomian $W$ stopnia dodatniego o współczynnikach całkowitych, dla którego zbiór liczb postaci $g(W(x))$ ( $x$ - całkowite) jest skończony.

Rozwiązanie

Udowodnimy, że nie istnieje wielomian o podanej własności. Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że

$ \qquad (1) W(x) =a_0 + a_1x + \ldots +a_nx^n $

jest wielomianem stopnia $n \geq 1$ o współczynnikach całkowitych i że zbiór liczb postaci $g(W(x))$ (dla całkowitych wartości argumentu $x$ ) jest skończony. To znaczy: istnieje liczba naturalna $m$ oraz istnieją liczby pierwsze $p_1, \ldots ,p_m$ o następującej własności:

jeśli $x$ jest liczbą całkowitą oraz $W(x)\neq Q$ , to wartość $W(x)$ nie dzieli się przez żadną liczbę pierwszą różną od $p_i,\ldots p_m$ .

Rozpatrzymy dwa przypadki.

Jeżeli $a_0 = 0$ , to dla każdej liczby całkowitej $x \neq 0$ wartość $W(x)$ dzieli się przez $x$ . Niech $b=1+p_1p_2\ldots p_m$ . Znajdujemy liczbę naturalną $k$ , dla której $W(kb)\neq 0$ ; liczba taka istnieje, bo wielomian $W$ ma skończenie wiele pierwiastków.

Wartość $W(kb)$ dzieli się przez $kb$ , więc i przez $b$ ; wobec tego ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy różny od $p_1, \ldots, p_m$ . Jest to sprzeczność z warunkiem (2).

Zajmiemy się teraz przypadkiem, gdy $a_0 \neq 0$ . Weźmy pod uwagę liczbę $c=a_0p_1p_2\ldots p_m$ . Znajdujemy liczbę naturalną $k \geq 2$ , dla której $W(kc) \neq a_0$ ; liczba taka istnieje, bo wartość $a_0$ jest przez wielomian $W$ przyjmowana tylko w skończenie wielu punktach.

Ze wzoru (1) otrzymujemy równość

$ \qquad (3) W(kc) =a_0 + kc[a_1 + a_2(kc) + \ldots + a_n(kc)^{n-1}] = a_0 + kcq, $

gdzie $q$ oznacza liczbę w nawiasie kwadratowym. Jest to liczba całkowita różna od zera (bo $W(kc) \neq a_0$ ). Wstawiając do (3) wyrażenie definiujące liczbę $c$ dostajemy równość

$ W(kc) = a_0w, \textrm{ gdzie } w = 1 + k q p_1 p_2 \ldots p_m. $

Skoro $k\geq 2$ oraz $q \neq 0$ , liczba $w$ nie jest równa $1$ , $-1$ , ani $0$ ; ma więc dzielnik pierwszy różny od $p_1,\ldots ,p_m$ . Zatem i w tym przypadku otrzymaliśmy sprzeczność z warunkiem (2); dowód jest zakończony.