XLVIII OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XLVIII OM, 1996-1997

Etap:

Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a, b \geq 1$ , $c\geq 0$ oraz dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ zachodzi nierówność

$ (ab + c)^n-c \leq ((b + c)^n-c)a^n. $

Rozwiązanie

Sposób I

Daną do udowodnienia nierówność przepisujemy w postaci

$ \qquad (1) (ab + ac)^n-(ab + c)^n \geq c(a^n-1). $

Oznaczmy: $\alpha = ab + ac$ , $\beta = ab + c$ . Skoro $a \geq 1$ , $b \geq 1$ , $c\geq 0$ , zatem $\alpha \geq a$ , $\beta \geq 1$ ; ponadto $\alpha-\beta= (a-1)c$ , i wobec tego

$ \begin{split} \alpha^n -\beta^n&= (\alpha -\beta)\sum_{k=0}^{n-1}\alpha^k\beta^{n-1-k} \geq (\alpha -\beta)\sum_{k=0}^{n-1}\alpha^k \geq\\ &\geq (\alpha -\beta)\sum_{k=0}^{n-1}a^k=c(a-1)\sum_{k=0}^{n-1}a^k=c(a^n-1); \end{split} $

otrzymaliśmy nierówność (1).

Sposób II

Dowód będzie oparty na znanej nierówności Bernoulli'ego:

$ \qquad (2) (1 + x)^n \geq 1 + nx \ \textrm{dla}\ x \geq -1;\ n = 1,2,3,\dots . $

Oznaczając sumę $1 + x$ przez $y$ możemy tę nierówność przepisać tak:

$ \qquad (3) y^n - 1\geq n(y-1) \ \textrm{dla}\ y \geq 0;\ n = 1,2,3,\dots . $

Przechodzimy do nierówności (1). Szacujemy z dołu jej lewą stronę, wykorzystując nierówność (3) (dla $y = \frac{ab+ac}{ab+c}$ ):

$ \begin{split} (ab+ac)^n-(ab+c)^n&=(ab+c)^n \left[\left(\frac{ab+ac}{ab+c}\right)^n-1\right] \geq \\ &\geq (ab+c)^n\cdot n\left(\frac{ab+ac}{ab+c} -1 \right)=\\ &=n(ab+c)^{n-1}(a-1)c. \end{split} $

Stąd (wobec faktu, że $ab+c\geq ab$ ):

$ \qquad (4) (ab+ac)^n - (ab +c)^n \geq n(ab)^{n-1}(a-1)c, $

i dalej (skoro $b \geq 1$ ):

$ \qquad (5) (ab+ac)^n - (ab +c)^n \geq na^{n-1}(a-1)c. $

Jeszcze raz stosujemy nierówność Bernoulli'ego (3) przyjmując $y = 1/a$ :

$ \frac{1}{a^n}-1\geq n\left(\frac{1}{a}-1\right); $

po przekształceniu:

$ \qquad (6) na^{n-1}(a-1)\geq a^n-1. $

Z zależności (5) i (6) natychmiast wynika dowodzona nierówność (1).

Uwaga: Nierówność (4) można także uzasadnić stosując wzór dwumianowy:

$ \begin{split} (ab + ac)^n - (ab + c)^n &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (ab)^{n-k}(ac)^n -\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (ab)^{n-k}c^k =\\ &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (ab)^{n-k}(a^k-1)c^k; \end{split} $

wszystkie składniki tej sumy są liczbami nieujemnymi; a składnik odpowiadający wartości $k = 1$ to dokładnie prawa strona wzoru (4).

Sposób III

Przeprowadzimy indukcyjny dowód nierówności (1), którą teraz wygodnie będzie zapisać tak:

$ \qquad (7) (ab + ac)^n-(ab + c)^n + c(1-a^n) \geq 0; $

$a$ , $b$ , $c$ są danymi liczbami rzeczywistymi, $a, b \geq 1$ , $c \geq 0$ .

Dla $n = 1$ mamy równość we wzorze (7). Ustalmy liczbę naturalną $n \geq 1$ , oznaczmy: $u = (ab + ac)^n$ , $v = (ab + c)^n$ , $w = a^n$ i przyjmijmy indukcyjnie, że dla tej liczby $n$ zdanie (7) jest prawdziwe:

$ u - v + c - cw \geq 0. $

Teza indukcyjna, czyli nierówność (7) z $n$ zastąpionym przez $n+1$ , ma postać:

$ \qquad (8) (ab + ac)u - (ab+c)v + c - acw \geq 0. $

Otóż lewa strona (8) jest równa

$ a(u - v + c - cw) + a(u - v)(b + c- 1) + (a - 1)(v - 1)c; $

pomijamy czysto mechaniczne sprawdzenie. W tej ostatniej sumie wszystkie trzy składniki są liczbami nieujemnymi: pierwszy - na podstawie założenia indukcyjnego, a pozostałe dwa - w wyniku założeń o liczbach $a$ , $b$ , $c$ . To dowodzi słuszności związku (8) i kończy dowód indukcyjny.