LX OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

LX OM, 2008-2009

Etap:

III

Niech $P, Q, R$ będą wielomianami stopnia co najmniej jeden, o współczynnikach rzeczywistych,
spełniającymi dla każdej liczby rzeczywistej $x$ równości

$ P(Q(x)) = Q(R(x)) = R(P (x)). $

Wykazać, że $P = Q = R$ .

Rozwiązanie

Sposób I.

Udowodnimy najpierw, że jeśli wielomiany $W_1, W_2$ spełniają dla każdej liczby rzeczywistej x równość

$ (1) \qquad W_1(W_1(W_1(x))) = W_2(W_2(W_2(x))), $

to $W_1 = W_2$ .

Łatwo zauważyć, że wielomiany te mają ten sam stopień. Dla wielomianów stopnia 0 (stałych) nie ma
czego dowodzić. Załóżmy więc, że ich stopień jest równy co najmniej 1.

Zauważmy, że jeżeli równość (1) jest spełniona, to obydwa te wielomiany są zgodnie monotoniczne na
przedziale $(x_1, \infty)$ dla pewnego $x_1$ oraz są zgodnie monotoniczne na przedziale
$(-\infty,x_1')$ dla pewnego $x_1'$ . W przeciwnym razie $W_1(W_1(W_1(x)))$ i $W_2(W_2(W_2(x)))$
dla odpowiednio dużych $x$ przyjmowałyby wartości o przeciwnych znakach. Zatem możliwe są następujące sytuacje:

$W_1, W_2$ są ściśle rosnące na przedziale $(x_1, \infty)$ .
$W_1, W_2$ są ściśle rosnące na przedziale $(-\infty,x'_1 )$ .
Nie zachodzi ani pierwszy, ani drugi przypadek, czyli zarówno na $(-\infty,x_1)$ , jak i na
$(x_1, \infty)$ , oba wielomiany są malejące.

Przeprowadzimy dowód nie wprost. Załóżmy, że równość (1) jest spełniona, ale
$W_1 \neq W_2$ . Wówczas równanie $W_1(x) - W_2(x) = 0$ ma skończenie wiele rozwiązań. W przypadku 1
istnieje zatem taka liczba $x_2$ , że dla wszystkich liczb $x>x_2$ zachodzi $W_1(x) >W_2(x)$
(lub na odwrót, co nie ma znaczenia dla ogólności rozumowania).

Niech $x_3 = \max\{x_1,x_2\}$ i niech $x_0$ będzie taką liczbą rzeczywistą, że liczby
$x_0$ , $W_2(x_0)$ oraz $W_2(W_2(x_0))$ są większe od $x_3$ . Istnienie takiej liczby $x_0$ wynika
z tego, że $W_2$ jest wielomianem dodatniego stopnia, co wobec założenia dotyczącego monotoniczności
wielomianu $W_2$ daje $\lim_{x \to \infty} W_2(x) = \lim_{x\to \infty} W_2(W_2(x)) = +\infty$ .

Mamy więc $W_1(x_0) >W_2(x_0) >x_3$ . Stąd $W_1(W_1(x_0)) >W_1(W_2(x_0)) >W_2(W_2(x_0)) >x_3$ , zatem

$ W_1(W_1(W_1(x_0))) >W_1(W_1(W_2(x_0))) >W_1(W_2(W_2(x_0))) >W_2(W_2(W_2(x_0))). $

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że $W_1 = W_2$ w przypadku 1.

W przypadku 2 rozumowanie przebiega podobnie. Pozostaje rozpatrzeć przypadek 3. Zauważmy, że wtedy
wielomiany $W_1'(x)= W_1(W_1(x))$ i $W_2'(x)= W_2(W_2(x))$ dążą do $+\infty$ dla $x \to \infty$ ,
więc są rosnące na przedziale $(x_1'', \infty)$ dla pewnego $x_1''$ . Możemy zatem porzeprowadzić
dla $W_1'$ i $W_2'$ rozumowanie takie samo jak w przypadku 1 i w ten sposób wykazać, że
$W_1' = W_2'$ . Stąd $W_1(W_1'(x))) = W_1(W_1(W_1(x))) = W_2(W_2(W_2(x))) = W_2(W_2'(x))$ ,
więc $W_1(W_1'(x))) = W_2(W_1'(x)))$ . Wynika z tego, że $W_1 = W_2$ , gdyż dla nieskończenie wielu
$y$ zachodzi $W_1(y)= W_2(y)$ . To kończy dowód lematu.

Przejdźmy do rozwiązania zadania. Podstawiając $y = P(x)$ w równości $P(Q(y)) = Q(R(y))$ otrzymujemy
$P(Q(P(x))) = Q(R(P(x)))$ . Z drugiej strony, równość $P(Q(x)) = R(P(x))$ implikuje równość
$Q(P(Q(x))) = Q(R(P(x)))$ . Oznacza to, że $P(Q(P(x))) = Q(P(Q(x)))$ , a w konsekwencji

$ P(Q(P(Q(P(Q(x)))))) = Q(P(Q(P(Q(P(x)))))). $

Stosując wcześniej dowiedzioną obserwację dla wielomianów $W_1(x)= P(Q(x))$ i $W_2(x)= Q(P(x))$
otrzymujemy $P(Q(x)) = Q(P(x))$ . Stąd $Q(P(x)) = R(P(x))$ , zatem $Q = R$ , gdyż, ponieważ $P$ nie jest
stały, dla nieskończenie wielu $y$ zachodzi $Q(y)= R(y)$ . Pozostałych równości dowodzimy w ten sam sposób.

Sposób II.

Niech $p = \deg(P)$ , $q = \deg(Q)$ oraz $r = \deg(R)$ będą stopniami wielomianów odpowiednio $P$ , $Q$ oraz $R$ i niech

$ P(x)= \sum_{k=0}^p p_kx^k,\; Q(x)= \sum_{k=0}^q q_kx^k,\; R(x)= \sum_{k=0}^r r_kx^k. $

Niech ponadto

$ P(Q(x)) = Q(R(x)) = R(P(x)) = \sum_{k=0}^m a_kx^k, $

przy czym $a_m \neq 0$ .

Zauważmy, że $P(Q(x))$ jest wielomianem stopnia $pq$ , czyli $m = pq$ . Podobnie, rozważając wielomiany
$Q(R(x))$ i $R(P(x))$ uzyskujemy $m = qr$ oraz $m = rp$ . Skoro $pq = qr = rp$ oraz $p,q,r > 0$ , to
$p = q = r$ . Dla przejrzystości oznaczmy tę wspólną wartość jako $n$ . Wówczas $m = pq = n^2$ .
Analizując współczynniki $a_m,a_{m-1},\cdots ,a_{m-n+1}$ , wykażemy kolejno, że dla $i = n, n - 1,\cdots , 1$
zachodzi $p_i = q_i = r_i$ .

Zacznijmy od obserwacji, że jeśli $t$ jest dodatnią liczbą całkowitą, to

$ \begin{split} (Q(x))^t = \left(\sum_{j=0}^q q_jx^j\right)^t &= \sum_{j_1,j_2,\cdots ,j_t \leqslant q} q_{j_1} q_{j_2} \cdots q_{j_t} x^{j_1+j_2+\cdots +j_t} = \\ &= \sum_{k=0}^{q\cdot t} x^k \cdot \sum_{\begin{array}{cc} j_1,j_2,\cdots ,j_t \leqslant q \\ j_1+j_2+\cdots +j_t = k\end{array}} q_{j_1} q_{j_2} \cdots q_{j_t}. \end{split} $

Występujące w powyższym wzorze liczby $j_1,j_2,\cdots ,j_t$ są nieujemnymi liczbami całkowitymi.
Zdefniujmy wielomian $P'(x)= P(x) - p^nx^n$ . Wtedy

$ (2) \qquad P(Q(x)) = p_n(Q(x))^n + P'(Q(x)). $

$P'(x)$ jest wielomianem stopnia co najwyżej $n - 1$ , stąd $\deg(P'(Q(x))) \leqslant n(n - 1)$ .
Wynika z tego, że w celu wyznaczenia współczynników $a_k$ dla $k>m - n = n(n - 1)$ wystarczy skupić
uwagę na współczynnikach wielomianu $p_n(Q(x))^n$ , czyli

$ (3) \qquad a_k = p_n \sum_{\begin{array}{cc} j_1,j_2,\cdots ,j_n \leqslant q \\ j_1+j_2+\cdots +j_n=k\end{array}} q_{j_1} q_{j_2} \cdots q_{j_n},\quad \text{gdy }n(n - 1) <k \leqslant n^2. $

Mamy $a_{n^2}= p_nq_n^n= q_nr_n^n= r_np_n^n$ . Liczby $p_n,q_n,r_n$ są różne od 0, zatem zachodzi równość

$ p_n^{n(n-1)+1} = \frac{(p_nq_n^n)(r_np_n^n)^n}{p_n^nq_n^nr_n^n} = \frac{(q_nr_n^n)(p_nq_n^n)^n}{p_n^nq_n^nr_n^n} = q_n^{n(n-1)+1} $

Identycznie uzyskujemy równość $q_n^{n(n-1)+1}=r_n^{n(n-1)+1}$ . Wykładnik $n(n - 1) + 1$ jest liczbą
nieparzystą, więc $p_n = q_n = r_n$ .

Niech teraz $i \in\{1, 2,\cdots ,n - 1\}$ i załóżmy, że $p_j = q_j = r_j$ dla $j>i$ . Wtedy, korzystając
z (3), otrzymujemy

$ (4) \qquad \begin{split} a_{n(n-1)+i} &= \sum_{\begin{array}{cc} j_1,j_2,\cdots ,j_n \leqslant n \\ j_1+j_2+\cdots +j_n = n(n-1)+i\end{array}} p_n q_{j_1} q_{j_2} \cdots q_{j_n} \\ &= \sum_{\begin{array}{cc} j_1,j_2,\cdots ,j_n \leqslant n \\ j_1+j_2+\cdots +j_n = n(n-1)+i\end{array}} q_n r_{j_1} r_{j_2} \cdots r_{j_n} \\ &= \sum_{\begin{array}{cc} j_1,j_2,\cdots ,j_n \leqslant n \\ j_1+j_2+\cdots +j_n = n(n-1)+i\end{array}} r_n p_{j_1} p_{j_2} \cdots p_{j_n} \end{split} $

Jedynymi sposobami przedstawienia liczby $n(n-1)+i$ w postaci sumy
$j_1 +j_2 +\cdots +j_n$ nieujemnych liczb całkowitych, z których żadna nie przekracza
$n$ i nie wszystkie są większe niż $i$ , są te, w których jeden składnik wynosi $i$ , a pozostałe są równe $n$ .
Takich przedstawień jest $n$ , gdyż $i$ może być dowolną spośród liczb $j_1,j_2,\cdots ,j_n$ .
Założyliśmy, że $p_j = q_j = r_j$ dla $j>i$ , więc z równości (4) wynika

$ np_nq_iq_n^{n-1} = nq_nr_ir_n^{n-1} = nr_np_ip_n^{n-1}, $

co wobec tego, że $p_n = q_n = r_n \neq 0$ , pociąga za sobą równość $p_i= q_i = r_i$ . To kończy dowód kroku indukcyjnego.

Pokażemy teraz, że p_0 = q_0 = r_0. W przypadku gdy $n> 1$ , wystarczy w tym celu rozważyć współczynnik
$a_{n(n-1)}$ . Analizując (2), widzimy, że w wielomianie $P'(Q(x))$ współczynnikiem przy
$x^{n(n-1)}$ jest $p_{n-1}q_n^n$ , zatem $a_{n(n-1)}$ jest sumą $p_{n-1}q_n^n$ i współczynnika przy
$x^{n(n-1)}$ w wielomianie $p_n(Q(x))^n$ . Stąd

$ a_{n(n-1)} = p_{n-1}q_n^{n-1} + \sum_{\begin{array}{cc} j_1,j_2,\cdots ,j_n \leqslant n \\ j_1+j_2+\cdots +j_n = n(n-1)\end{array}} p_n q_{j_1} q_{j_2} \cdots q_{j_n} $

i analogicznie

$ \begin{split} a_{n(n-1)} &= q_{n-1}r_n^{n-1} + \sum_{\begin{array}{cc} j_1,j_2,\cdots ,j_n \leqslant n \\ j_1+j_2+\cdots +j_n = n(n-1)\end{array}} q_n r_{j_1} r_{j_2} \cdots r_{j_n} \\ &= r_{n-1}p_n^{n-1} + \sum_{\begin{array}{cc} j_1,j_2,\cdots ,j_n \leqslant n \\ j_1+j_2+\cdots +j_n = n(n-1)\end{array}} r_n p_{j_1} p_{j_2} \cdots p_{j_n} \end{split} $

Wiemy, że $p_j = q_j = r_j$ dla $j> 0$ , więc, podobnie jak poprzednio, dostajemy
$np_nq_0q_n^{n-1} = nq_nr_0r_n^{n-1} = nr_np_0p_n^{n-1}$ , skąd $p_0 = q_0 = r_0$ .
Pokazaliśmy zatem, że gdy $n> 1$ , wielomiany $P$ , $Q$ oraz $R$ mają odpowiednie współczynniki równe,
więc $P = Q = R$ .

Przypadek $n = 1$ wymaga oddzielnego rozważenia. Jeśli wielomiany
$P(x)= p_1x + p_0$ , $Q(x)= q_1x + q_0$ oraz $R(x)= r_1x + r_0$ spełniają warunki zadania, to, jak
pokazaliśmy wcześniej, $p_1 = q_1 = r_1 \neq 0$ . Porównując wyrazy wolne wielomianów
$P(Q(x))$ , $Q(R(x))$ i $R(P(x))$ dostajemy $p_1q_0 + p_0 = p_1r_0 + q_0 = p_1p_0 + r_0$ ,
a stąd łatwo uzyskujemy, że $p_0 = q_0 = r_0$ .