XLVIII OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

XLVIII OM, 1996-1997

Etap:

Obliczyć kres górny objętości czworościanów zawartych w kuli o danym promieniu $R$ , których jedną z krawędzi jest średnica tej kuli.

Rozwiązanie

Niech $ABCD$ będzie jednym z rozważanych czworościanów. Przyjmijmy, że krawędź $AB$ jest średnicą danej kuli. Oznaczmy odległość punktu $C$ od prostej $AB$ przez $w$ , a odległość punktu $D$ od płaszczyzny $ABC$ - przez $h$ . Objętość czworościanu $ABCD$ jest równa

$<br /> V = \frac{1}{3} \cdot\ \textrm{pole} (ABC) \cdot h = \frac{1}{3}( \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot w) \cdot h = \frac{1}{3} Rwh.<br />$

Oczywiście $w \leq R$ , $h \leq R$ , i wobec tego $V \leq \frac{1}{3} R^3$ .

Czworościan $ABCD$ był wybrany dowolnie; zatem kres górny objętości rozważanych czworościanów nie przekracza liczby $\frac{1}{3} R^3$ .

Gdy $ABC$ jest trójkątem prostokątnym równoramiennym o przeciwprostokątnej $AB$ , wówczas $w = R$ . Gdy z kolei $ABD$ jest trójkątem prostokątnym równoramiennym o przeciwprostokątnej $AB$ , leżącym w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny $ABC$ , wówczas także $h = R$ . Gdy oba te warunki są spełnione, zachodzi równość $V= \frac{1}{3} R^3$ .

Wniosek: kres górny rozważanych objętości jest równy $\frac{1}{3} R^3$ .