XLVIII OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XLVIII OM, 1996-1997

Etap:

Dana jest liczba naturalna $m\geq 1$ oraz wielomian $P(x)$ stopnia dodatniego o współczynnikach całkowitych mający co najmniej trzy różne pierwiastki całkowite. Dowieść, że wielomian $P(x) + 5^m$ ma co najwyżej jeden pierwiastek całkowity.

Rozwiązanie

Załóżmy, że liczby całkowite $a$ , $b$ , $c$ są różnymi pierwiastkami wielomianu $P(x)$ . Przypuśćmy, wbrew dowodzonej tezie, że wielomian $P(x) + 5^m$ ma dwa różne pierwiastki całkowite $u$ i $v$ . Można przyjąć, że $u>v$ .

Dla każdej pary różnych liczb całkowitych $x_1$ , $x_2$ liczba $P(x_1)-P(x_2)$ dzieli się przez $x_1-x_2$ . [Uzasadnienie: jeżeli $P(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n$ ( $a_i$ , całkowite), to różnica $P(x_1)-P(x_2)$ jest sumą składników $a_i(x_1^i-x_2^i$ ) dla $i = 1,\ldots,n$ , a każdy z tych składników dzieli się przez $x_1 -x_2$ .]

Biorąc jako $x_1$ liczby $u$ i $v$ , a jako $x_2$ liczby $a$ , $b$ i $c$ , dostajemy za każdym razem różnicę $P(x_1) - P(x_2)$ równą $-5^m$ . Skoro ma się ona dzielić przez każdą z rozważanych różnic $x_1 -x_2$ , muszą zachodzić równości

$(1) \quad \begin{array}{lll} |u-a| = 5^j,& |u-b| = 5^k,& |u-c|=5^l,\\ |v-a| = 5^n,& |v-b| = 5^p,& |v-c|=5^q\\ \end{array} $

dla pewnych wykładników całkowitych $j, k,l,n,p,q\geq 0$ .

Zapiszmy różnicę $u-v$ w postaci $u-u = 5^\alpha w$ ;, gdzie $\alpha \geq 0$ , $w > 0$ są liczbami całkowitymi, przy czym $w$ nie dzieli się przez $5$ . Z dwóch pierwszych równości (1) wynika, że

$ u-v=(u-a)-(v-a) = (\pm 5^j) - (\pm 5^n) = 5^{\min\{j, n\}} (\pm 5^{|j-n|} \pm1). $

Liczba w ostatnim nawiasie nie dzieli się przez $5$ ; jest więc równa $w$ , a wykładnik $\min\{j,n\}$ jest równy $\alpha$ . A ponieważ $w>0$ , znak $\pm$ przed $5^{|j-n|}$ można pominąć.

Pisząc następnie liczbę $u - v$ jako $(u-b) - (v-b)$ oraz jako $(u-c) - (v-c)$ i korzystając z pozostałych zależności (1) otrzymujemy analogicznie związki

$ \qquad (2) \alpha = \min\{j,n\} = \min\{k,p\} = \min\{l,q\}, $

$ \qquad (3) w = 5^{|j-n|} \pm 1 = 5^{|k-p|}\pm 1 = 5^{|l-q|} \pm 1. $

Zauważmy wszelako, że liczba $w$ może mieć tylko jedno przedstawienie postaci $5^\delta+\varepsilon$ ( $\delta \geq 0$ całkowite, $\varepsilon \in \{+1,-1\}$ ). Z równości (3) wynika więc, że wykładniki $|j-n|$ , $|k-p|$ , $|l-q|$ są równe. Oznaczmy ich wspólną wartość przez $\delta$ oraz przyjmijmy $\beta=\alpha+\delta$ .

W myśl związków (2), w każdej z trzech par $\{j,n\}$ , $\{k,p\}$ , $\{l,q\}$ jedna liczba równa się $\alpha$ ; pozostała musi się równać $\beta$ . Zatem pewne dwie spośród liczb $j$ , $k$ , $l$ są równe; niech na przykład $j = k$ . Wówczas $n = p$ (jeśli $j = k = \alpha$ , to $n = p = \beta$ , a jeśli $j = k = \beta$ , to $n = p = \alpha$ ) i wobec związków (1):

$ |u - a| = |u - b| \ \textrm{oraz} \ |v - a| = |v - b|. $

Zgodnie z założeniem, liczby $a$ i $b$ nie są równe; otrzymane równości oznaczają w takim razie, że $(u-a) = (b-u)$ oraz $(v - a) = (b-v)$ . Stąd $2u = a + b$ oraz $2v = a+b$ , wbrew temu, że $u>v$ . Sprzeczność kończy dowód.