XLVIII OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XLVIII OM, 1996-1997

Etap:

Grupa złożona z $n$ osób stwierdziła, że codziennie przez pewien okres czasu trzy z nich mogą wspólnie zjeść obiad w restauracji, przy czym każde dwie z nich spotkają się na dokładnie jednym obiedzie. Dowieść, że liczba $n$ przy dzieleniu przez $6$ daje resztę $1$ lub $3$ .

Rozwiązanie

Niech $m$ będzie liczbą dni, w ciągu których osoby z owej grupy zamierzają chodzić trójkami na obiady. Z $n$ osób można utworzyć $\frac{1}{2}n(n-1)$ par. Każdego dnia trzy pary spotkają się na obiedzie, a więc $\frac{1}{2}n(n- 1) = 3m$ .

Każda osoba spotka na obiadach w omawianym okresie wszystkie pozostałe $n -1$ osób. Na jednym obiedzie spotka dwie spośród nich; nikogo nie spotka dwukrotnie. Zatem $n -1$ jest liczbą parzystą, i wobec tego

$<br /> n \equiv 1 (\mod 6) \ \textrm{lub} \ n \equiv 3 (\mod 6) \ \textrm{lub}\ n \equiv 5 (\mod 6).<br />$

Ostatnia możliwość prowadzi do wniosku, że $n(n -1) \equiv 5 \cdot 4 \equiv 2 (\mod 6)$ , wbrew temu, że $n(n - 1) = 6m$ . Tak więc $n \equiv 1$ lub $n \equiv 3 (\mod 6)$ .