XLVII OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XLVII OM, 1995-1996

Etap:

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite $n$ , dla których równanie $2 \sin nx = \tan x + \cot x$ ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych $x$ .

Rozwiązanie

Załóżmy, że dane równanie ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych: niech $\alpha$ będzie jednym z tych rozwiązań. Oczywiście $\alpha$ nie może być całkowitą wielokrotnością $\pi/2$ , bo dla takich liczb prawa strona traci sens. Zgodnie z równaniem,

$ 2 \sin n \alpha = \tan \alpha + \cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha+\cos ^2 \alpha}{\cos \alpha \sin \alpha} = \frac{2}{\sin 2 \alpha}; $

stąd $2\sin n\alpha \cdot \sin 2\alpha=2$ , czyli

$ \cos(n-2)\alpha-\cos(n+2)\alpha = 2 $

(korzystamy tu ze wzoru: $\cos u - \cos v = 2\sin \frac{1}{2}(u+v)\sin\frac{1}{2}(v-u))$ . Różnica dwóch kosinusów jest równa $2$ wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy z nich ma wartość $1$ , a drugi $-1$ . Dostajemy więc układ równości

$ \cos(n-2)\alpha = 1, \quad \cos(n + 2)\alpha = -1, $

z których wynika, że

$ (1) \qquad (n-2)\alpha = 2q\pi, \quad (n + 2)\alpha = (2p + 1) \pi $

( $p, q$ liczby całkowite).

W drugiej z równości (1) mamy po prawej stronie liczbę różną od zera; zatem i lewa strona ma wartość różną od zera. Możemy wobec tego podzielić pierwszą równość stronami przez drugą. Dostajemy związek $\frac{n-2}{n+2}=\frac{2q}{2p+1}$ .

Wprowadzając oznaczenie $n-2 = m$ przepisujemy ten związek w postaci $(2p+1)m = 2q(m+4)$ , czyli

$ (2p-2q+1)m = 8q. $

Widzimy, że liczba $m$ pomnożona przez liczbę nieparzystą daje w wyniku liczbę podzielną przez $8$ , co jest możliwe tylko wtedy, gdy sama liczba $m$ dzieli się przez $8$ . Skoro zaś $n = m + 2$ , znaczy to, że liczba $n$ daje w dzieleniu przez $8$ resztę $2$ .

Biorąc jeszcze pod uwagę warunek zadania mówiący, że liczba $n$ ma być dodatnia, dochodzimy do następującej konkluzji:

$ (2) \qquad \quad n \textrm{ jest liczbą postaci } 8k+2,\ k \textrm{ całkowite},\ k \geq 0. $

Na odwrót, jeśli liczba $n$ ma taką postać, to rozważane równanie ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych --- jednym nich jest na przykład liczba $x = \frac{1}{4} \pi$ ; istotnie: dla $x=\frac{1}{4} \pi$ oraz $n = 8k + 2$ mamy $nx = 2k\pi + \frac{1}{2} \pi$ , skąd $\sin nx = 1$ ; zarówno lewa jak i prawa strona równania ma wartość $2$ .

Wniosek: liczby, których wyznaczenie było celem zadania, są scharakteryzowane przez zdanie (2).

Uwaga: Wspomnimy jeszcze wariant rozwiązania polegający na spostrzeżeniu (od razu na początku), że dla każdej liczby $x$ prawa strona równania, jako liczba postaci $t + (1/t)$ , ma wartość bezwzględną nie mniejszą niż $2$ , podczas gdy wartość bezwzględna lewej strony jest nie większa od $2$ . Równanie może więc być spełnione tylko wtedy, gdy obie strony mają wartość $2$ lub $-2$ . Każda z tych możliwości daje układ dwóch prostych równań trygonometrycznych. Dokończenie rozumowania jest łatwym zadaniem i prowadzi do wniosku (2), dającego charakteryzację poszukiwanych liczb $n$ . Czytelnikowi pozostawiamy dopracowanie szczegółów.