XLVII OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

XLVII OM, 1995-1996

Etap:

Liczby nieujemne $a$ , $b$ , $c$ , $p$ , $q$ , $r$ spełniają warunki:

$ a + b + c = p + q + r = 1; \quad p, q, r \leq \frac{1}{2}. $

Udowodnić, że $8abc \leq pa + qb + rc$ oraz rozstrzygnąć, kiedy zachodzi równość.

Rozwiązanie

Bez straty ogólności można przyjąć, że $a \geq b \geq c$ . Przeprowadzimy ciąg szacowań opartych na następujących nierównościach (które są konsekwencjami przyjętego przed chwilą założenia oraz warunków zadania):

$ \begin{split} & (1) \qquad \quad pa \geq pb; \quad (1-2r)(b-c)\geq 0;\\ & (2) \qquad \quad a(b+c)^2 \geq a \cdot 4bc; \quad (1-a)(2a-1)^2\geq 0. \end{split} $

Korzystając z zależności (1) dostajemy oszacowanie:

$ \begin{split} pa+qb+rc & \geq (p+q)b+rc = (1-r)b+rc =\\ & = \frac{1}{2} (1-2r)(b-c) + \frac{1}{2}(b+c) \geq \frac{1}{2} (b+c) = \frac{1}{2}(1-a); \end{split} $

korzystając zaś ze związków (2) mamy:

$ \begin{split} 8abc & = 2a \cdot 4bc \leq 2a(b+c)^2 = 2a(1-a)^2 =\\ & = \frac{1}{2} (1-a)[1-(2a-1)^2] \leq \frac{1}{2}(1-a). \end{split} $

Widzimy więc, że liczba $\frac{1}{2}(1-a)$ jest nie mniejsza niż lewa strona danej do udowodnienia nierówności i nie większa niż prawa jej strona. Stąd, rzecz jasna, wynika teza.

Aby udowodniona nierówność stała się równością, musi zachodzić równość w każdym kroku powyższych szacowań; to znaczy: obie nierówności (1) oraz obie nierówności (2) muszą stać się równościami. Przypuśćmy więc, że tak jest.

Znak równości w drugim ze związków (2) oznacza, że $a=1$ lub $a=\frac{1}{2}$ ; zatem $a \ne 0$ i pierwszy ze związków (2) implikuje równość $(b + c)^2 = 4bc$ , która zachodzi tylko dla $b = c$ . Wobec założenia, że suma liczb $a,b,c$ jest równa $1$ wnosimy, że

$ (3) \qquad \quad (a, b, c) = (1,0,0) \ \textrm{ lub }\ (a,b,c) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right). $

W każdym przypadku $a >b$ ; przejście pierwszej z nierówności (1) w równość jest więc możliwe tylko dla $p = 0$ . Wówczas $q + r= 1 -p= 1$ ; a skoro $q,r \in \langle 0;\ \frac{1}{2} \rangle$ , zatem $q = r = \frac{1}{2}$ , czyli

$ (4) \qquad \quad (p,q,r)=\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right). $

Wykazaliśmy w ten sposób, że jeśli dana w zadaniu nierówność staje się równością, to są spełnione warunki (3) i (4). Na odwrót, jeśli te warunki są spełnione, to zachodzi równość w każdym ze związków (1) i (2), i wobec tego wszystkie przeprowadzone szacowania są de facto ciągami równości. Rozważana nierówność przechodzi w równość.

[Zamiast powoływać się na owe szacowania można po prostu obliczyć wartość wyrażeń $8abc$ oraz $pa + qb + rc$ dla trójek liczb (3) i (4).]

Odrzucając założenie, że $a \geq b \geq c$ , dostajemy odpowiedź: równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy szóstka liczb $(a,b,c,p,q,r)$ ma jedną z następujących postaci:

$ \begin{array}{ccc} (1,0,0,0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}), & (0,1,0,\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}), & (0,0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{2},0),\\ (\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}), & (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}), & (\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0). \end{array} $

Uwaga: Dla każdej trójki liczb $a,b,c \geq 0$ i dla każdej trójki wykładników $p,q,r \geq 0$ o sumie $p + q + r = 1$ zachodzi nierówność (5); wyrażenia figurujące w niej po lewej i prawej stronie noszą odpowiednio nazwy: średnia arytmetyczna ważona} i {\it średnia geometryczna ważona liczb $a, b, c$ z wagami $p, q, r$ .

Szybki dowód dostaje się z nierówności Jensena dla funkcji wypukłej $f(x)= e^x$ :

$ e^{pu+qv+rw} \leq pe^u+qe^v + re^w \quad \textrm{dla dowolnych liczb } u,v,w \in \mathbb{R}. $

(Obszerniejszy komentarz na temat funkcji wypukłych i nierówności Jensena można znaleźć na przykład w publikacji: XXXVII Olimpiada Matematyczna, Sprawozdanie Komitetu Głównego, Warszawa 1989, str. 41-42.)

Gdy liczby $a, b, c$ są dodatnie, wystarczy przyjąć $u = \ln a$ , $v = \ln b$ , $w = \ln c$ , aby otrzymać nierówność (5).

Gdy któraś (jedna lub więcej) z nieujemnych liczb $a, b, c$ jest zerem, bierzemy dowolne ciągi liczb dodatnich $(a_n), (b_n), (c_n)$ , zbieżne odpowiednio do $a$ , $b$ , $c$ ; wykładniki $p, q, r$ pozostają przy tym ustalone. Dla każdej trójki $a_n,b_n,c_n$ , zachodzi nierówność analogiczna do (5), więc w granicy otrzymujemy nierówność (5) dla rozważanej trójki $a, b, c$ .