XLVII OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

XLVII OM, 1995-1996

Etap:

Ze środka kwadratu wybiega promień świetlny, który odbija się od boków kwadratu zgodnie z zasadą kąt padania jest równy kątowi odbicia. Po pewnym czasie promień wraca do środka kwadratu. Promień nigdy nie trafił w wierzchołek, ani nie przeszedł wcześniej przez środek. Dowieść, że liczba odbić od boków kwadratu jest nieparzysta.

Rozwiązanie

Na płaszczyźnie z prostokątnym układem współrzędnych $Oxy$ prowadzimy wszystkie proste o równaniach $x = c$ ( $c$ całkowite) oraz $y = c$ ( $c$ całkowite); w ten sposób cała płaszczyzna zostaje pokryta nieskończoną siatką kwadratów jednostkowych. W każdej parze kwadratów o wspólnym boku identyfikujemy punkty symetryczne względem tego boku (rysunek 5). Tak więc, na przykład, punkt $X = (u,v)$ w kwadracie $OABC$ o wierzchołkach $O = (0,0)$ , $A = (1,0)$ , $B = (1,1)$ , $C = (0,1)$ jest utożsamiony z punktami $(2-u,v)$ oraz $(u,2-v)$ w kwadratach jednostkowych przyległych do $OABC$ od prawej strony i od góry, a także z dwoma punktami w dwóch kwadratach jednostkowych przyległych do $OABC$ od lewej strony i od dołu.

Poprzez symetrie względem dalszych prostych siatki, punkt ten ma swoje repliki we wszystkich kwadratach siatki - po jednej w każdym kwadracie jednostkowym. Środek kwadratu $OABC$ , czyli punkt $P=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ , jak każdy inny, ma nieskończenie wiele kopii; są nimi środki wszystkich kwadratów siatki, czyli punkty postaci $(\frac{1}{2}+ m, \frac{1}{2} +n)$ , gdzie $m, n$ mogą być dowolnymi liczbami całkowitymi.

Możemy zakładać, że $OABC$ jest tym kwadratem, którego dotyczy zadanie, oraz że promień świetlny został wysłany z punktu $P$ ,,w prawo w górę'' (wzdłuż odcinka prostej o dodatnim współczynniku kierunkowym). Pierwszy raz odbija się więc od boku $AB$ lub $BC$ , w pewnym punkcie $Q$ . Następny raz trafia w brzeg kwadratu $OABC$ w pewnym punkcie $R$ .

Fragment $QR$ jego trajektorii ma swoją kopię $QR'$ w kwadracie przyległym do $OABC$ (przy boku $AB$ lub $BC$ ), która jest prostoliniowym przedłużeniem odcinka $PQ$ ; prostoliniowość wynika z zasady odbicia. Istotnie: w sytuacji jak na rysunku, punkt $R'$ jest symetryczny do $R$ względem prostej $AB$ , wobec czego $|\measuredangle BQR|= |\measuredangle BQR'|$ ; a skoro także $|\measuredangle BQR|= |\measuredangle PQA|$ (zasada odbicia), zatem punkt $R'$ leży na półprostej $PQ^\to$ .

Analogicznie, następny fragment drogi promienia ma w kolejnym kwadracie siatki swój obraz, będący przedłużeniem odcinka $QR'$ . I tak dalej: każdy kolejny fragment drogi można identyfikować z coraz to dalszym odcinkiem półprostej $PQ^\to$ . W ten sposób cała trajektoria promienia, od startu z punktu $P$ do powrotu do punktu $P$ , odpowiada pewnej prostoliniowej drodze na płaszczyźnie, o początku w punkcie $P$ i końcu w pewnym punkcie $Z$ , który jest jedną z replik środka kwadratu $OABC$ . Tak więc $Z$ jest punktem postaci $(\frac{1}{2} +m, \frac{1}{2} + n)$ dla pewnej pary liczb naturalnych $m, n$ .

Na odcinku $PZ$ leży w szczególności punkt $M=(\frac{1}{2}(1+m),\frac{1}{2}(1 + n))$ , środek tego odcinka. Jeśli obie liczby $m, n$ są parzyste, to $M$ jest środkiem pewnego kwadratu siatki, czyli obrazem środka $P$ kwadratu $OABC$ . Jeśli obie liczby $m, n$ są nieparzyste, to $M$ jest punktem o współrzędnych całkowitych, czyli obrazem wierzchołka kwadratu $OABC$ . Każda z tych sytuacji jest wykluczona przez warunki zadania. Zatem liczby $m$ i $n$ są różnej parzystości, a więc ich suma jest liczbą nieparzystą.

Zauważmy jednak, że odcinek $PZ$ przecina $m$ prostych pionowych oraz $n$ prostych poziomych, będących liniami siatki. Każdy taki punkt przecięcia odpowiada punktowi odbicia promienia od brzegu kwadratu $OABC$ . Jest to odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna, bowiem odcinek $PZ$ nie przechodzi przez żaden węzeł siatki (,,promień nie trafił w wierzchołek kwadratu''). Stąd wniosek, że liczba odbić jest równa sumie $m + n$ ; suma ta zaś - jak wykazaliśmy - jest liczbą nieparzystą. Teza jest więc udowodniona.